EJU 2006 年第 2 回 物理 第 11 题

圆管一端开口，另一端由活塞封闭。按理想管端的位移边界，开口是腹、封闭端是节；首共鸣长度为四分之一波长，因此 $\ell=\lambda/4$，得 $\lambda=4\ell$。给出的 $3\ell$ 共鸣也符合四分之三波长的下一模式。

声速记为 c，原声源频率 $f=c/(4\ell)$。把活塞固定在 $L=2\ell$ 后，管的基频为

一端封闭管只允许奇数倍基频，故共鸣频率依次为 $f/2,3f/2,5f/2,\ldots$。

题目从原来的 f 开始向上增加。f位于新基频 $f/2$ 与下一共鸣 $3f/2$ 之间，所以首次遇到的共鸣为 $3f/2$，所求倍数为 $3/2$。

“管长翻倍，基频减半”只是中间步骤。若直接回答 $f/2$，就忽略了扫频方向；这个频率在起点下方，不可能由从f向上增加首先达到。

本题改变的是声源频率，而新空气柱长度已经固定，因此不能继续把原来的波长固定为 $4\ell$。每一个新共鸣频率都对应一个满足管端条件的新波长。频率 $3f/2$ 时，波长为 $8\ell/3$，三个四分之一波长正好等于新长度 $2\ell$；把这个候选回代驻波长度关系，能直接确认它确实属于允许模式，而非只由比值猜出的数。