EJU 2007 年第 2 回 物理 第 17 题

磁场力始终垂直于粒子速度，不改变速率，只使粒子作匀速圆周运动。定义轨道半径为 $r$，洛伦兹力与向心力相等，$qvB=mv^2/r$，所以 $B=mv/(qr)$。关键是从图正确求半径。

以入射点为坐标原点，向右为横轴正、向上为纵轴正。入射速度竖直，半径必须水平；轨迹向左弯，圆心位于 $(-r,0)$。P 的坐标为 $(-d,h)$，它到圆心的距离同样为 $r$，因此 $(r-d)^2+h^2=r^2$。

展开后平方半径抵消，得到 $2rd=h^2+d^2$，即 $r=(h^2+d^2)/(2d)$。代回动力学式，得到 $B=2mvd/[q(h^2+d^2)]$。

入口到 P 的直线距离是弦长，不能直接当半径。若 $h=d$，几何给半径等于这两个距离，符合四分之一圆的特例；一般情况下不成立。最终磁场强度随动量增大而增大、随电荷量增大而减小，符合保持同一轨迹曲率所需的规律，且公式量纲正确。

图只给圆弧上的一点，并没有说明P是最高点，因此一般不能把高度h当半径。圆心位置由入口速度方向决定，P位置再决定这个圆的尺度，两个几何条件需要同时用。若只从图外观估算半径，容易把特定四分之一圆当成所有情况。