EJU 2007 年第 2 回 物理 第 4 题

定义原来的敲钟时间间隔为 $\tau$，改变坡角后的间隔为 $\tau'$，对应加速度为 $a,a'$。各木块初始间距不变，零初速运动中同一参考距离满足 $s=a\tau^2/2=a'\tau'^2/2$，所以时间间隔之比为 $\tau'/\tau=\sqrt{a/a'}$。

要求新时间为旧时间的一半，平方后得到 $a'=4a$。光滑斜面的沿坡加速度是 $g\sin\theta$，因此须使新坡角的正弦为旧值的四倍，而不是让角度本身乘四，也不是只把正弦增为两倍。

上一问的间距比只给各块到达时间的整数倍关系，改变共同加速度会统一缩放所有到达时间，所以这一条件同时使每个敲钟间隔减半。还须注意实际可实现性：正弦不能超过一，故原角必须满足 $4\sin\theta\le1$。若原坡太陡，仅靠改变坡角已无法完成指定时间缩短；题目选项是在理想可行范围内比较函数条件，不意味着任何初角都可照做。

若用四倍的加速度回代同一距离式，新时间平方恰好只有原来的四分之一，所以开方后减半。这是对缩放方向的代数复核。