EJU 2007 年第 2 回 物理 第 5 题

先处理来球与 A 的理想弹性碰撞。定义 A 刚碰后的速率为 $u$，用一维静止靶弹性碰撞关系得 $u=2MV/(M+m)$；B 此时仍静止。弹簧随后逐渐压缩，A、B 总动量保持 $mu$，共同质心速度为 $u/2$。

最大压缩时两端不再互相接近，即 A、B 瞬时共速 $u/2$，并非都停住。它们初始动能为 $mu^2/2$，此时共同平移动能为 $2m(u/2)^2/2=mu^2/4$。只有差值 $mu^2/4$ 能存进弹簧。令压缩量为 $x$，有 $kx^2/2=mu^2/4$。

解得 $x=u\sqrt{m/(2k)}=\sqrt{2m/k}\,MV/(M+m)$。劲度越大压缩越小、入射速率越大压缩越大，趋势正确；根号中质量除劲度具有时间平方的量纲，乘速率得到长度。分阶段分析采用理想短时碰撞，不能把来球与 A、B 三者在压缩时设为共速，也不能把全部碰后动能都当弹性势能，否则会违反非零总动量所要求的平移。

这个共同速度可通过总动量直接验算：两球总质量乘共同速度，必须仍等于刚碰后A带来的动量。若把两球都设为零速，能量看似都进弹簧，动量却消失，因此错误并不只是某个数值系数。最大压缩随后会回弹，弹簧力在最短时通常不为零。