EJU 2007 年第 2 回 物理 第 6 题

从最低点到最高点，球的高度增加 $2\ell$，不论用杆还是绳，重力势能都增加 $2mg\ell$。约束力沿半径，不对切向运动做功，因此机械能守恒。

刚杆既能拉也能推，在最高点不要求拉力非负。越顶的临界能量可让顶端速率趋近零，因此 $mV^2/2=2mg\ell$，得到阈值 $V=2\sqrt{g\ell}$。严格说恰好此能量是临界平衡极限，完成一整圈需略大，题目的最小值按这个下限理解。

细绳只能拉不能推。定义顶端速率为 $u_t$、张力为 $T$，向心方程 $mg+T=mu_t^2/\ell$，由 $T\ge0$ 得 $u_t^2\ge g\ell$。临界时张力为零，再加上升高所需的四倍 $g\ell$ 速度平方，底端有 $U^2=5g\ell$。

因此 $V:U=2:\sqrt5$。区别不在球质量或轨道大小，而在约束能否提供向外的推力。不能把绳顶端零张力误说成零速，也不能给刚杆强加只拉不推的条件，否则两种模型会被错误地判成相同。

这里两种装置的球质量和轨道半径相同，能量差完全相同；额外门槛只来自绳的单向拉力约束。将这一因果说清后，就不会误把差异归结为绳更长或球更重。