EJU 2008 年第 1 回 物理 第 3 题

取P为原点，x水平向右、y竖直向上。小球位置为 $x=v_0\cos\theta\,t$、$y=v_0\sin\theta\,t-gt^2/2$。斜面从x=L、y=0开始，方程是 $y=(x-L)\tan\theta$。

将小球位置代入斜面方程，$v_0\sin\theta\,t-gt^2/2=v_0\cos\theta\,t\tan\theta-L\tan\theta$。因发射角与斜面角相同，两边的一阶时间项相消，得到 $gt^2/2=L\tan\theta$。

故交会时间为 $t=\sqrt{2L\tan\theta/g}$，目标水平距离是 $x=v_0\cos\theta\,t=v_0\sqrt{L\sin2\theta/g}$。不是沿坡距离，也不是O到落点的距离x−L。

前题条件保证x>L，计算出来的交点确实在斜面有效部分。根式单位是时间，乘v₀为长度；同一θ和L下初速越大，落点更远，而这里交会时间不变，是两条初始方向平行的特殊几何结果。

可把结果与平地射程R联系：由R=v₀²sin2θ/g，本题落点满足x²=LR，即x=√(LR)。R>L时，几何平均数位于L与R之间，说明小球越过O后先碰到斜面，尚未到达假想平地落点。这是对交会解的区域检查。若误把目标写成x−L，虽可表示O到落点的水平距离，却与题目从P量起的问法不同；最终答案中无需额外平移一次。