EJU 2008 年第 1 回 物理 第 5 题

左侧两根弹簧并联，每根伸长相同，力相加，所以等效刚度为2k。右侧两根串联，所受拉力相同，总伸长相加，所以等效刚度为k/2。两组自然总长均为ℓ。

杆保持水平时两端下降量相同，设为Δ。左、右弹簧组的支持力分别为 $F_P=2k\Delta$、$F_Q=(k/2)\Delta$，故 $F_P:F_Q=4:1$。

设重物通过挂点对轻杆施加向下作用力T。轻杆质量忽略，其合力与力矩满足 $F_P+F_Q=T$、$F_Qd=Tx$，所以 $x/d=F_Q/(F_P+F_Q)=1/5$，即x=d/5。

这里不必知道重物质量，也不必求Δ。若只考察最终静止时，T等于重物重量；运动中T可能不同，但轻杆的同一比例约束仍成立，所以该挂点能使杆在放手后的运动中一直水平。自然长度只保证初始总高度一致，题目已明确四根k相同，不可因短弹簧就擅自把其k加倍。

两端支持力不相等与杆水平并不矛盾：水平约束的是两端位置，不是两端弹力。较硬一组同位移产生较大力，只要挂点靠近这一端，力矩就能配平。若错误地令两端各担一半，右软端就需要四倍于左端的伸长，杆不会继续保持水平。