EJU 2008 年第 1 回 物理 第 6 题

最大压缩时，A不再比B更快，否则压缩仍会继续；两物体速度相同，设为u。整体无水平外力，动量守恒 $mv_0=(2m)u$，所以u=v₀/2。

初动能为mv₀²/2。最大压缩时两物体的总动能为 $2\times\frac12m(v_0/2)^2=mv_0^2/4$，并不为0。理想弹簧与光滑地面保证机械能守恒，故 $k\delta_{\max}^2/2=mv_0^2/2-mv_0^2/4=mv_0^2/4$。

解得 $\delta_{\max}=v_0\sqrt{m/(2k)}$。B能运动，所以有一部分初动能始终保留为质心平动，不能把全部初动能用于压缩弹簧。

结果随v₀线性增大、随k平方根反比，符合撞得更快压得更深、弹簧更硬压得更少的趋势。最大压缩是相对运动的瞬时停点，并不代表两物体已经粘在一起；之后弹簧还会伸长并重新分配速度。

弹簧最大压缩时储能最大，系统动能降到由总动量决定的最小值。这不是耗散，随后弹簧回弹还能把储能释放为相对运动动能。无摩擦保证机械能守恒，但总动量同时限制可转移进弹簧的那一部分；两个条件一起使用，才避免把可以保留的平动能误当损失。