EJU 2008 年第 1 回 物理 第 7 题

同一段时间里B走一周、A走八周，因此B的周期等于A周期的八倍，即TB/TA=8。A圈数多说明周期短，不能把这个比例写反。

对圆轨道卫星，万有引力提供向心力：$GMm/r^2=m(2\pi/T)^2r$，整理为 $T^2=4\pi^2r^3/(GM)$。两卫星绕同一个行星，GM相同，所以 $r_B/r_A=(T_B/T_A)^{2/3}=8^{2/3}=4$。

可反算检查：半径比4给周期比 $4^{3/2}=8$，与一周对八周一致。轨道较外侧B的速度较小、路程较长，周期更大，也与rB>rA的方向相容。

轨道半径从行星中心量起，不是离表面的高度；题目已经给出rA、rB，无需知道行星实际半径或卫星质量。最初三者共线只规定起始相位，求周期比时并不要求再次共线或使用会合周期。

引力加速度随半径平方反比变化，不能把所有轨道都当在同一个常数g下运动。圆轨道周期式中的r³来自引力的r²分母与向心加速度中的r共同作用，正是半径与周期非线性关系的来源。比值计算中中心天体GM消去，但半径幂次仍需保留。