EJU 2009 年第 1 回 物理 第 7 题

小球的轨迹是纬线圆，圆半径为 $r=a\sin\theta$，圆心在竖直轴上，并不是 O。它的加速度水平指向轴线，大小为 $v^2/(a\sin\theta)$。沿 P 指向 O 的方向取分量时，再乘上 $\sin\theta$，因此球面径向的加速度大小恰好为 $v^2/a$。

绳贴着球面，绳在 P 处沿球面切线向 A 拉，所以张力没有球面径向分量。重力沿向球心方向的分量为 $mg\cos\theta$；球面支持力 $N$ 指向外，方向相反。径向牛顿方程为 $mg\cos\theta-N=mv^2/a$。

支持力只能推球，不能把球拉回球面，因此接触要求 $N\ge0$。随着速率增加，所需向内径向加速度增大，支持力逐渐减小，临界时 $N=0$。于是最大速率为 $\sqrt{ag\cos\theta}$。这里归零的是支持力，不是绳张力；也不能直接用纬线半径替换方程中投影后的 $a$。当纬线靠近赤道时重力的径向分量趋零，允许接触速率也趋零，这给出有力的边界检查。

若只沿竖直方向列式，还需同时保留张力和支持力的分量，再与水平方程联立；结果同样成立，但未知量更多。沿球面法线投影恰好消去张力，直接锁定题目所问的接触极限，是最清楚的系统选择。