EJU 2009 年第 2 回 物理 第 4 题

从各自漂浮平衡位置向下位移 $z$，圆盘多排开水的体积为 $Sz$，浮力因此增大 $\rho_wgSz$。原来的浮力已经与重力抵消，所以剩余合力为向上的 $F=-\rho_wgSz$，与位移成正比且反向，是简谐回复力。

由 $m\ddot z=-\rho_wgSz$，周期为 $T=2\pi\sqrt{m/(\rho_wgS)}$。A、B截面积相同，所用水相同，所以回复系数 $\rho_wgS$ 相同。材料与截面积相同又使质量正比于厚度，$m_B/m_A=0.050/0.100=1/2$。

因此 $T_B/T_A=\sqrt{m_B/m_A}=1/\sqrt2\approx0.71$。较薄圆盘惯性较小，在相同位移下得到同样回复力，加速度较大，振动较快、周期较短。少量压下保证圆盘没有完全浸没或离开水面，排水体积增量才能始终写成 $Sz$。

回复力中不应再多加一个mg。若用向下为正，位移z后的浮力是 $F_B(z)=mg+\rho_wgSz$，因此合力 $mg-F_B(z)=-\rho_wgSz$；原平衡浮力与重量已经抵消。这也说明周期取决于浮力随位移的增量，而不是平衡时浮力的大小。B虽平衡浮力较小，但它每下沉同样距离仍多排开同样体积，所以刚度没有变。小振幅范围内，初始压下的具体距离只改变振幅，不改变上述周期比。