EJU 2009 年第 2 回 物理 第 5 题

设斜面倾角为 $\alpha$、动摩擦系数为 $\mu$。沿斜面加速度为 $a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$，保持角度和接触条件不变时，a为同一常量。由静止走过d后，$v_Q^2=2ad$；水平段光滑，不改变速率，所以离台速率 $v_R=\sqrt{2ad}$。

从R水平飞出，竖直初速度为0，下落高度h所需时间 $t=\sqrt{2h/g}$。水平射程 $x=v_Rt=2\sqrt{adh/g}$，因此 $x\propto\sqrt{dh}$。

d、h同时加倍，离台速度与飞时分别变为 $\sqrt2$ 倍，射程变为 $\sqrt2\times\sqrt2=2$ 倍。无需知道摩擦系数数值，因为它只包含在不变的加速度因子中。不能把粗糙斜面的损耗忽略后宣称全程机械能守恒；也不必因此放弃比例法，恒定摩擦下的速度平方仍正比于位移。

也可直接比较两次运动：斜面加速度不变而距离加倍，使下滑阶段所增加的动能加倍，故离台速率平方加倍；下落高度加倍，则飞时平方加倍。于是射程平方等于速度平方乘时间平方，变成4倍，射程本身变成2倍。这里的摩擦虽消耗机械能，但其功也与d成正比，因而不会破坏本次比例关系。只要仍是同一斜面同一表面条件，就无需把未知摩擦系数数值求出来。