EJU 2009 年第 2 回 物理 第 6 题

球心位于最低点上方r处，运动平面位于最低点上方r/5，所以球心到运动平面的竖直距离为4r/5。由侧视直角三角形，水平轨道半径 $\rho=\sqrt{r^2-(4r/5)^2}=3r/5$。

光滑球面的支持力N沿指向球心的法线，其竖直分量为4N/5、水平向内分量为3N/5。运动在水平面内，竖直方向平衡：$4N/5=mg$，得 $N=5mg/4$。水平方向提供向心力：$3N/5=mv^2/\rho$。

代入N及 $\rho=3r/5$，得到 $v^2=(3g/4)(3r/5)=9gr/20$，故 $v=3\sqrt5\sqrt{gr}/10$。量纲为 $\sqrt{gr}$，确为速率。球面半径r决定法线方向，向心力分母却必须是水平轨道半径3r/5，不能把两个圆的半径混用。

取竖直与水平两个方向分别列式，比沿球面切向列式更直接，因为运动的加速度全在水平面内。支持力的两个分量之比固定为3∶4，先由竖直平衡确定N，再把水平分量作为向心力，逻辑顺序清楚。重力本身竖直，不能直接当水平圆的向心力；但它决定了支持力的竖直分量，继而间接决定可用的水平分量。质量m在两式中消去，因此同一轨道高度要求的速率不依赖小物体质量。