EJU 2010 年第 2 回 物理 第 7 题

小球虽然相对圆盘静止，但从地面看，它与圆盘一起转动，做半径为弹簧全长 $\ell$、角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动。因此向心加速度大小为 $\omega^2\ell$，需要向内的合力 $m\omega^2\ell$。

槽沿半径方向且无摩擦，不提供沿槽的作用力；竖直方向的重力与支持力平衡。径向向内的力由弹簧拉力提供，其大小为 $k(\ell-\ell_0)$。于是

把含 $\ell$ 的项移到同侧，得 $(k-m\omega^2)\ell=k\ell_0$，所以 $\ell=k\ell_0/(k-m\omega^2)$。

这里弹力使用的是伸长量，向心力使用的是全长，不能混为一项。题设存在有限正长度的静止状态，也意味着 $k>m\omega^2$。转速趋零时，结果回到自然长度，符合预期。