EJU 2025 年第 1 回 物理 第 6 题

设太阳质量为 $M$，万有引力常量为 $G$。地球在半径 $R$ 的圆轨道上，引力提供向心力：$GMm_E/R^2=m_EV^2/R$，约去地球质量后得 $V^2=GM/R$。

对小天体采用机械能守恒。以无穷远为引力势能零点，题目“足够远、初速度0”意味着初始总机械能近似为0。到距离 $R$ 时，$\frac12mv^2-GMm/R=0$，因此 $v^2=2GM/R$。

把两式相除，$v^2/V^2=2$，速率均为正，故 $v/V=\sqrt2$。小天体并不是在半径 $R$ 处做圆周运动，不能对它使用 $v^2/R=GM/R^2$。圆轨道条件与下落能量条件不同，即使距离太阳相同，速度也不相同。太阳质量、轨道半径和小天体质量最后都消去，比值是无量纲数。

在能量式中，选无穷远势能为零是自然的，因为题目给的起点就在足够远处。到半径 $R$ 时引力势能为负，动能为正，两者之和仍为0，因而动能数值等于势能绝对值。圆轨道中则动能只等于势能绝对值的一半。这一能量差别对应速度平方的2倍，而不是受力的2倍；同一位置、相同质量的天体所受太阳引力大小仍相同。

两个速率均按大小比较，不涉及径向与切向速度矢量的方向相减。