空间图形的计量

为什么是这样

挑平面有四种常用办法。① 过对称轴切开：圆锥、正棱锥和球都关于轴对称，过轴的截面里，内切球变成内切圆，外接球变成外接圆，半径不变。② 展开：沿表面走的路线在曲面上没法直接量，把侧面摊平，两点间最短的就是线段。③ 取一个面：四面体被平面切出的三角形，每条边都落在某个侧面上，在那个面里用余弦定理求。④ 体积算两次：同一个锥体换一个面当底，体积不变，于是能求点到平面的距离。

正四面体 $ABCD$ 的高为什么好求：从 $A$ 向底面作垂线，垂足为 $H$。直角三角形 $ABH$、$ACH$、$ADH$ 的斜边都是棱长 $a$，又共用 $AH$，所以全等，$HB=HC=HD$，$H$ 是底面三角形的外心。由正弦定理 $BH=\dfrac{a}{2\sin60^\circ}=\dfrac{a}{\sqrt3}$，勾股得高 $\dfrac{\sqrt6}{3}a$。侧棱都相等的棱锥都是这样，垂足落在底面的外心。

相似的立体，所有长度都乘 $k$。面积是两个长度相乘，所以乘 $k^2$；体积是三个长度相乘，所以乘 $k^3$。用平行于底面的平面切锥体，切下的小锥体与原锥体相似，相似比就是两者的高之比。

定量表达

球的体积 $\dfrac43\pi r^3$，表面积 $4\pi r^2$。锥体体积是同底同高柱体的 $\dfrac13$。圆锥的侧面展开是扇形：半径是母线 $l$，弧长等于底面周长 $2\pi r$，所以圆心角 $=360^\circ\times\dfrac{r}{l}$，侧面积 $=\dfrac12\times2\pi r\times l=\pi rl$。

体积两算是求高和距离的万能办法：先用好算的底面求体积 $V$，再换一个面 $S'$ 当底，那个面对面的顶点到它的距离就是 $\dfrac{3V}{S'}$。内切球同理：球心与各面连成高都是 $r$ 的锥体，$V=\dfrac13r\times$表面积，这和三角形的 $S=\dfrac12r(a+b+c)$ 是同一个想法。球与立方体（棱长 $a$）：立方体内接于球时直径是空间对角线 $\sqrt3a$；球内切于立方体时直径是 $a$；球与 12 条棱都相切时直径是面对角线 $\sqrt2a$。