三角形的边比（角平分线）

为什么是这样

先说内分与外分。点 $P$ 在线段 $AB$ 上且 $AP:PB=m:n$，称 $P$ 把 $AB$ 内分为 $m:n$（内分する）。点 $Q$ 在直线 $AB$ 上、线段之外，且 $AQ:QB=m:n$（$m\ne n$），称 $Q$ 把 $AB$ 外分为 $m:n$（外分する）。外分点靠近比值小的那一端：$m>n$ 时 $Q$ 在 $B$ 的外侧，$m<n$ 时在 $A$ 的外侧；$m=n$ 时这样的点不存在。

设 $\angle A$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$。$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 以 $BD$、$DC$ 为底时高相同，面积比是 $BD:DC$；以 $AB$、$AC$ 为底时，高是 $D$ 到两边的距离，而角平分线上的点到角的两边等距，面积比又是 $AB:AC$。两种算法相等，就得到 $BD:DC=AB:AC$。

外角平分线上的点同样到直线 $AB$、$AC$ 等距，同一个论证说明：外角平分线与直线 $BC$ 的交点 $E$ 满足 $BE:EC=AB:AC$，即按两边之比外分 $BC$。$AB=AC$ 时外角平分线与 $BC$ 平行，交点不存在。内角和外角的两半加起来是 $90^\circ$，所以总有 $\angle DAE=90^\circ$。

逆定理也对：$BC$ 上的点 $P$ 若满足 $BP:PC=AB:AC$，则 $AP$ 平分 $\angle A$。平分线的交点 $D$ 也按这个比内分 $BC$，而这样的点只有一个，$P$ 与 $D$ 只能重合。这种「先作出满足结论的点，再说明它就是题中的点」的证法叫同一法。

定量表达

记 $AB=c$，$AC=b$，$BC=a$。内分点的位置是 $BD=\dfrac{c}{b+c}a$，$DC=\dfrac{b}{b+c}a$。$b<c$ 时外分点 $E$ 在 $C$ 的外侧，$BE$ 与 $EC$ 之差才是 $a$，所以 $CE=\dfrac{b}{c-b}a$，$BE=\dfrac{c}{c-b}a$：外分用两边之差，不是和。

面积比有三种看法（见「怎么用」的图），本章反复要用：等高看底之比；等底看高之比，常换成线段比，如直线 $AP$ 交 $BC$ 于 $D$ 时 $\triangle PBC:\triangle ABC=PD:AD$；共一个角时看夹边之积的比，$\triangle ADE:\triangle ABC=AD\cdot AE:AB\cdot AC$，因为两者都是 $\dfrac12xy\sin A$ 的形式。