教材 · 数学 Course 1 · 图形
图形的性质
図形の性質
三角形的边比与五心、切瓦与梅涅劳斯定理、圆的性质与方幂定理、两圆位置关系、空间里的直线平面与多面体。
学习目标
- 能用角平分线定理、五心的性质、中线定理、切瓦定理和梅涅劳斯定理求三角形里的线段比、长度和面积比，并能说出每一步用的是哪个三角形、哪条直线
- 能由三角形的成立条件和「大边对大角」写出含参数的边长范围，判断最大角、锐角或钝角，并用对称点求折线的最短长度
- 能用圆周角、圆内接四边形、切线长、方幂定理和两圆的位置关系求角度与长度，并判断空间里直线、平面的位置关系，用欧拉公式数多面体的顶点、棱、面
前四节讲三角形，按顺序读：「三角形的边比（角平分线）」先建立面积比与线段比这套工具；「三角形的五心」用它研究外心、内心、重心、垂心；「三角形的边与角」换成不等关系，讲成立条件和大边对大角；「切瓦定理与梅涅劳斯定理」把线段比推广到三线共点、三点共线，是本章计算题的主力。接着三节讲圆：「圆周角与圆内接四边形」是基础，「圆与直线、切线」讲切线长和弦切角，「方幂定理与两圆位置关系」把前两节合起来用。最后读「直线与平面、多面体」，把平面里的位置关系搬到空间。时间紧时，优先读切瓦与梅涅劳斯、五心和方幂定理三节的例题，EJU 的图形大题多从这里出。
- 1三角形的边比（角平分线）三角形の辺の比三角形一个角的平分线（内角或外角）分对边的比，等于夹这个角的两边之比：。内角平分线是内分，外角平分线是外分；反过来，按两边之比分对边的点与顶点的连线就是角平分线。
- 2三角形的五心三角形の五心外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点等距；内心是三条内角平分线的交点，到三边等距；重心是三条中线的交点，把每条中线分成 ；垂心是三条高的交点。解题时：外心找等长线段，内心找等角，重心找 和中点，垂心找直角。
- 3三角形的边与角三角形の辺と角同一个三角形里，大边对大角、大角对大边；任一边小于另两边之和、大于另两边之差，即 。判断锐角、钝角只看最大边：它的平方小于、等于、大于另两边平方和，分别是锐角、直角、钝角三角形。
- 4切瓦定理与梅涅劳斯定理チェバの定理・メネラウスの定理三线共点（切瓦）和一线截三边（梅涅劳斯）都满足 ，沿「顶点→分点→顶点」绕一圈写。两者的逆定理用来证明三线共点、三点共线；用梅涅劳斯定理时要先说清用哪个三角形、哪条直线。
- 5圆周角与圆内接四边形円周角と円に内接する四角形圆周角是同弧所对中心角的一半，所以同弧上的圆周角都相等，并且和弧长成正比。圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角。反过来，同侧两点看同一线段的角相等，或者四边形对角互补，就能断定四点共圆。
- 6圆与直线、切线円と直線・接線切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引的两条切线长相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。内切圆把三边分成 、、。证明一条直线是切线，就证它垂直于半径，或用弦切角定理的逆。
- 7方幂定理与两圆位置关系方べきの定理と2つの円过一点 P 的任意直线与圆交于 A、B， 都相等；切线时变成 ，它的值是 。两圆的位置看圆心距 d 与 、 的大小，公切线依次有 4、3、2、1、0 条，公切线长从一个直角三角形里求。
- 8直线与平面、多面体直線と平面・多面体空间两直线有相交、平行、异面三种关系；直线垂直于平面内两条相交直线，就垂直于这个平面；三垂线定理把空间的直角搬回平面。凸多面体满足 ，棱数和顶点数从面去数；面角和必须小于 ，所以正多面体只有 5 种。