三角形的五心

为什么是这样

外心：到 $A$、$B$ 等距的点正好组成 $AB$ 的垂直平分线。$AB$、$AC$ 的垂直平分线交于 $O$，则 $OA=OB$、$OA=OC$，于是 $OB=OC$，$O$ 也在 $BC$ 的垂直平分线上。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径的圆过三个顶点，叫外接圆。锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。

内心：角内部到角两边等距的点正好组成角平分线。$\angle B$、$\angle C$ 的平分线交于 $I$，$I$ 到三边等距，所以也在 $\angle A$ 的平分线上，它是内切圆的圆心，总在内部。一个内角的平分线与另两个外角的平分线也交于一点，叫旁心（傍心），每个三角形有三个，是旁切圆的圆心。

重心：中线 $AL$、$BM$（$L$、$M$ 是 $BC$、$CA$ 的中点）交于 $G$。由中位线定理 $ML\parallel AB$ 且 $ML=\dfrac12AB$，所以 $AG:GL=AB:ML=2:1$。$AL$ 与 $CN$ 的交点同样按 $2:1$ 分 $AL$，只能是同一点，三条中线交于 $G$。垂心：过每个顶点作对边的平行线围成大三角形，原来的三条高正是大三角形三边的垂直平分线，所以交于一点。这五个点合称五心，正三角形的外心、内心、重心、垂心重合。

定量表达

记 $a=BC$，$b=CA$，$c=AB$。角：$\angle A$ 为锐角时 $\angle BOC=2\angle A$（圆心角是圆周角的两倍）；$\angle IBC=\dfrac B2$，$\angle ICB=\dfrac C2$，所以 $\angle BIC=90^\circ+\dfrac A2$。比：直线 $AI$ 交 $BC$ 于 $D$，在 $\triangle ABD$ 中 $BI$ 平分 $\angle B$，于是 $AI:ID=AB:BD=(b+c):a$；重心 $AG=\dfrac23AL$，三条中线把三角形分成面积相等的六块。

长度：把三角形按内心分成三块，面积 $S=\dfrac12r(a+b+c)$，由此求内切圆半径 $r$；外接圆半径用正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$。中线长用下面的中线定理。另外，外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ 在一条直线（欧拉线）上，$OG:GH=1:2$，并且 $AH=2OM$（$M$ 是 $BC$ 的中点）。