切瓦定理与梅涅劳斯定理

为什么是这样

切瓦定理可以用面积比看出来。设 $AO$、$BO$、$CO$ 交对边于 $P$、$Q$、$R$。$\triangle OAB$ 与 $\triangle OCA$ 共用底边 $OA$，面积比等于 $B$、$C$ 到直线 $AO$ 的距离之比，而这两段距离之比正是 $BP:PC$。所以 $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{\triangle OAB}{\triangle OCA}$，同理 $\dfrac{CQ}{QA}=\dfrac{\triangle OBC}{\triangle OAB}$，$\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{\triangle OCA}{\triangle OBC}$，三式相乘，面积全部约掉。

梅涅劳斯定理可以用平行线看出来。直线交三边所在直线于 $P$、$Q$、$R$，从 $A$、$B$、$C$ 向这条直线作垂线，长为 $h_A$、$h_B$、$h_C$，每个比都等于两条垂线之比：$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{h_B}{h_C}$，$\dfrac{CQ}{QA}=\dfrac{h_C}{h_A}$，$\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{h_A}{h_B}$，乘起来同样是 $1$。一条直线不可能穿过三条边的内部，所以三个交点要么两个在边上、一个在延长线上，要么三个都在延长线上。

两个逆定理都用同一法证明：先作出满足定理的点，再由「按同一比分同一线段的点只有一个」说明重合。例如三条中线的比都是 $1$，三条角平分线的比是 $\dfrac cb\cdot\dfrac ac\cdot\dfrac ba=1$，由切瓦的逆立刻知道它们各自交于一点。

定量表达

式子的读法：从顶点 $B$ 出发，到分点 $P$，到顶点 $C$，到分点 $Q$，到顶点 $A$，到分点 $R$，回到 $B$，走过的线段交替放进分子和分母。从哪个顶点出发、顺时针还是逆时针都行，只要一路不跳。写完检查：每个顶点、每个分点在分子和分母里各出现一次。

梅涅劳斯定理的关键是选三角形和直线。要求的比（如 $BP:PE$）所在的线段，要当作三角形的一条边；再找一条同时穿过这条边和另两边（或延长线）的直线，使另外两个比已知。同一张图常有好几种「三角形＋直线」的组合，另一种组合可以拿来验算。