直线与平面、多面体

为什么是这样

空间两直线若在同一平面内，就和平面几何一样，相交或平行；不在同一平面内，就是异面（ねじれの位置）。异面直线也有夹角：把其中一条平移到与另一条相交，所成的角就是两直线所成的角。因为多了异面，「垂直于同一直线的两直线平行」这类平面结论到空间会失效。

直线与平面有三种关系：在平面内、交于一点、平行。判断直线垂直于平面，只要它垂直于平面内两条相交直线。两条相交直线已经撑开了整个平面，平面内任何方向都能由它们组合出来；只垂直于一条不够，绕着那条线转动的直线全都和它垂直。两平面要么平行，要么交于一条直线。在交线上取一点，在两个平面内各作交线的垂线，两条垂线的夹角叫二面角。

三垂线定理：P 在平面 α 外，O 是 P 在 α 上的垂足，$\ell$ 是 α 内的直线，A 在 $\ell$ 上。若 $OA\perp\ell$，则 $PA\perp\ell$。理由是 $\ell$ 同时垂直于 $PO$（$PO$ 垂直整个平面）和 $OA$，这两条相交，所以 $\ell$ 垂直于平面 $POA$，也就垂直于其中的 $PA$。反过来由 $PA\perp\ell$ 也能推出 $OA\perp\ell$。

正多面体要求各面是全等的正多边形，每个顶点处聚集的面数也相同。一个顶点处至少要有 3 个面，而且面角之和必须小于 $360^\circ$，否则摊平后没有缺口，折不成立体角。正三角形可以 3、4、5 个，正方形 3 个，正五边形 3 个，正六边形 3 个已经是 $360^\circ$。所以正多面体只有 5 种。

定量表达

凸多面体的顶点数 v、棱数 e、面数 f 满足欧拉多面体定理 $v-e+f=2$。数棱和顶点时从面出发：f 个 n 边形一共有 $nf$ 条边，每条棱被两个面共用，所以 $e=\dfrac{nf}{2}$；一共有 $nf$ 个角，每个顶点被 m 个面各数一次，所以 $v=\dfrac{nf}{m}$。算完用欧拉定理验算。

五种正多面体的 $(v,\ e,\ f)$：正四面体 $(4,6,4)$，正六面体 $(8,12,6)$，正八面体 $(6,12,8)$，正十二面体 $(20,30,12)$，正二十面体 $(12,30,20)$。立方体与正八面体、正十二面体与正二十面体的 v 和 f 互换：连接一个的各面中心，就得到另一个；正四面体连出来还是正四面体。