多项式与因式分解

为什么是这样

多项式（多項式）是若干个单项式（単項式）的和，单项式是数与字母的积。字母部分相同的项叫同类项（同類項），合并就是把系数相加。$5ax^3$ 含 4 个字母，是 4 次；只着眼于 $x$ 时 $a$ 当作数，它变成 3 次、系数（係数）是 $5a$。多项式的次数取各项中最高的，不含着眼字母的项叫常数项（定数項）。整理时按着眼字母从高次到低次排（降べきの順），结构才看得清。

展开只用一条规则：分配律，让前一个括号的每一项去乘后一个括号的每一项，再合并同类项。乘法公式不是新规则，只是把常用的几种结果预先算好。图里边长 $a+b$ 的正方形说明了 $(a+b)^2$ 为什么多出 $2ab$：除了 $a^2$、$b^2$ 两块，还有两块 $a\times b$ 的长方形。

因式分解是把展开倒过来读，没有万能算法，只能认形状。$(ax+b)(cx+d)$ 展开得 $acx^2+(ad+bc)x+bd$，所以分解二次三项式时，把 $x^2$ 的系数拆成 $a\times c$、常数项拆成 $b\times d$，交叉相乘之和 $ad+bc$ 恰好等于一次项系数，就找到了。这就是十字相乘（たすき掛け）。

定量表达

指数法则：$a^ma^n=a^{m+n}$，$(a^m)^n=a^{mn}$，$(ab)^n=a^nb^n$。单项式相乘先定符号（负因数偶数个为正、奇数个为负），再乘系数，最后乘字母。多项式相减时，减号后面括号里的每一项都要变号；括号有几层就从里往外去。

公式块从左往右读是因式分解，反过来是展开。三次的两组最容易混：$a^3+b^3$ 分成一次因式乘二次因式，一次因式与原式同号，二次因式的中间项变号，末项总是正；$(a+b)^3$ 是四项，系数为 $1,\,3,\,3,\,1$。没有特别说明时只在有理数范围内分解，$x^2-2$ 就算分完了。