教材 · 数学 Course 2 · 数与式
各种式子
いろいろな式
多项式除法与分式、二项定理、恒等式、等式与不等式的证明、复数与二次方程、解与系数、余数定理与高次方程。
学习目标
- 能做多项式的竖式除法并写成 A=BQ+R，化简分式（约分、通分、部分分式、繁分式），用二项定理直接写出展开式中指定项的系数
- 能用系数比较法或数值代入法求恒等式里的待定系数，并用作差配方、比较平方、相加平均与相乘平均证明不等式、求最小值，写出等号成立的条件
- 能在复数范围内解二次方程、用判别式和解与系数的关系处理两根，用余数定理和因式定理求余式、分解并解高次方程
前四节是式子的运算与证明，后三节是方程。先读「多项式除法与分式」，竖式除法和 A=BQ+R 是全章的底子；「二项定理」相对独立，可以接着读，也可以放到学完「组合」之后；再读「恒等式」，它把 A=BQ+R 当作恒等式求未知系数；然后读「等式与不等式的证明」，相加平均与相乘平均求最小值是 EJU 的常考点。后半先读「复数与二次方程的解」把解的范围扩到复数，再读「解与系数的关系」，最后读「余数定理、因式定理与高次方程」，它要用到前面的除法和恒等式。
- 1多项式除法与分式多項式の除法と分数式多项式除法的结果写成 ，余式 的次数一定低于除式 。竖式要按降幂排列、缺项留空位；分式的约分、通分、乘除全部照搬分数的规则，动手前先把分子分母因式分解。
- 2二项定理二項定理 中 的系数是 ，因为要从 个括号里选 个出 。求某一项：写出一般项，把 的指数合并成一个式子，令它等于目标解出 ，再把 、 自带的系数和符号一起算进去。
- 3恒等式恒等式两个多项式恒等，等价于同次项的系数全部相等。求待定系数有两种做法：展开后比较系数（两个方向都成立）；代入方便的数值（只得到必要条件，代入个数不到次数加一时要验证）。
- 4等式与不等式的证明等式・不等式の証明等式证明是把两边化成同一个式子；不等式 的证明是说明 ，最可靠的非负来源是平方。有根号或绝对值时比较平方；和与积同时出现、积为常数时用 ，并确认等号能取到。
- 5复数与二次方程的解複素数と2次方程式の解复数 像字母式一样计算，遇到 换成 ；两个复数相等，就是实部、虚部分别相等。在复数范围里，实系数二次方程总有两个解，判别式只决定种类： 两个实数解， 重解， 一对共轭的虚数解。
- 6解与系数的关系解と係数の関係 的两个解满足 、，虚数解也一样。对称式化成和与积求值；和为 、积为 的两数是 的解；判断解的符号时，和与积之外还要加判别式。
- 7余数定理、因式定理与高次方程剰余の定理・因数定理と高次方程式 除以 的余数是 ； 就是 能整除 。解高次方程就是找一个使 的 ，用组立除法降一次，直到剩下能解的一次、二次式。