复数与二次方程的解

为什么是这样

把 $i$ 当普通字母算，只多一条规则：见到 $i^2$ 就换成 $-1$。于是任何结果都能整理成 $a+bi$（$a$、$b$ 是实数），这就是复数（複素数），$a$ 叫实部，$b$ 叫虚部。$b=0$ 时它就是实数 $a$；$b\ne0$ 时叫虚数，其中 $a=0$ 的 $bi$ 叫纯虚数。实数是复数的一部分。$i$ 的幂按 $i,\ -1,\ -i,\ 1$ 四个一循环。

两个复数相等，指实部和虚部分别相等。理由：若 $a+bi=c+di$ 而 $b\ne d$，移项得 $i=\dfrac{a-c}{d-b}$，右边是实数，可没有实数的平方是 $-1$。所以一个复数等式其实是两个实数等式，这是解含 $i$ 的方程的总钥匙。前提是 $a$、$b$、$c$、$d$ 都是实数。

虚数没有大小，也不分正负。设 $i>0$，两边乘 $i$ 得 $-1>0$；设 $i<0$，乘 $i$ 时不等号反向，同样得 $-1>0$，都矛盾。所以「正数」「$a<b$」只对实数说；题目里出现不等式，字母默认是实数。

负数的平方根也由 $i$ 给出：$a>0$ 时规定 $\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i$，$-a$ 的平方根是 $\pm\sqrt{a}\,i$。实数里的 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 在两个都是负数时会出错，所以根号里一出现负数，第一步就改写成 $i$。

定量表达

加减把实部、虚部分别合并；乘法照常展开再把 $i^2$ 换成 $-1$。$a+bi$ 与 $a-bi$ 互为共轭复数，和 $2a$、积 $a^2+b^2$ 都是实数。除法就用这一点：分子分母同乘分母的共轭复数，分母变成实数（同分母有理化），如 $\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{2}$。两个复数的积为 $0$ 时，和实数一样，至少有一个是 $0$。

实系数二次方程照用求根公式，根号下是负数就写成 $i$。判别式 $D=b^2-4ac$ 的符号决定解的种类：$D>0$ 两个不同的实数解，$D=0$ 重解，$D<0$ 两个不同的虚数解。后一种的两个解互为共轭，实部都是 $-\dfrac{b}{2a}$，也就是抛物线的轴。$x$ 的系数是偶数 $2b'$ 时用 $\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$。今后不特别说明时，方程的解都在复数范围里考虑。