教材 · 数学 Course 2 · 数与式 · 各种式子
二项定理 二項定理
8 いろいろな式 ／ 多項式の除法，分数式，二項定理，恒等式
一句话结论 ( a + b ) n (a+b)^n ( a + b ) n a n − r b r a^{n-r}b^r a n − r b r n C r {}_n\mathrm{C}_r n C r n n n r r r b b b x x x r r r a a a b b b
两项之和的平方、立方你能直接展开。可如果题目问「2x 减 1 的七次方展开后，x 的三次项系数是多少」，硬乘要乘七遍，又慢又容易错。二项定理让你跳过整个展开，直接写出想要的那一项。EJU 的 Course 2 常把它出成一道小题：求某项系数、求常数项、或者反过来由系数求参数。
为什么是这样 ( a + b ) n (a+b)^n ( a + b ) n n n n ( a + b ) (a+b) ( a + b ) a a a b b b r r r b b b n − r n-r n − r a a a a n − r b r a^{n-r}b^r a n − r b r r r r b b b n n n r r r n C r {}_n\mathrm{C}_r n C r
各次方的系数排成三角形，就是杨辉三角（パスカルの三角形）。两端是 1 1 1 r r r b b b n − r n-r n − r a a a ( a + b ) n = ( a + b ) n − 1 ( a + b ) (a+b)^n=(a+b)^{n-1}(a+b) ( a + b ) n = ( a + b ) n − 1 ( a + b ) a n − r b r a^{n-r}b^r a n − r b r a n − r b r − 1 a^{n-r}b^{r-1} a n − r b r − 1 b b b a n − r − 1 b r a^{n-r-1}b^r a n − r − 1 b r a a a
同一个想法可以推到三项。( a + b + c ) n (a+b+c)^n ( a + b + c ) n a p b q c r a^pb^qc^r a p b q c r p + q + r = n p+q+r=n p + q + r = n p p p a a a q q q b b b r r r c c c n n n n ! p ! q ! r ! \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!} p ! q ! r ! n !
二项系数就是选法数：(a+b)³ 中 ab² 有 3 种挑法；杨辉三角每个数等于左上与右上之和 (a+b)³ 里，ab² 从哪来 (a+b) (a+b) (a+b) a b b → ab² b a b → ab² b b a → ab² 每个括号出 a 或 b， 决定「哪 2 个括号出 b」即可： ₃C₂ = 3 种，所以系数是 3 一般地 aⁿ⁻ʳbʳ 的系数是 ₙCᵣ 杨辉三角（パスカルの三角形） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 4 + 6 = 10：每个数是左上与右上之和 两端是 1（全出 a 或全出 b 只有一种挑法）；左右对称，因为选 r 个出 b 等于选 n − r 个出 a。 定量表达 一般项 n C r a n − r b r {}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r n C r a n − r b r r + 1 r+1 r + 1 a a a b b b ( 2 x − 1 ) 7 (2x-1)^7 ( 2 x − 1 ) 7 7 C r ( 2 x ) 7 − r ( − 1 ) r = 7 C r 2 7 − r ( − 1 ) r x 7 − r {}_7\mathrm{C}_r(2x)^{7-r}(-1)^r={}_7\mathrm{C}_r\,2^{7-r}(-1)^r\,x^{7-r} 7 C r ( 2 x ) 7 − r ( − 1 ) r = 7 C r 2 7 − r ( − 1 ) r x 7 − r 2 7 − r 2^{7-r} 2 7 − r ( − 1 ) r (-1)^r ( − 1 ) r
有 1 x \dfrac{1}{x} x 1 x − 1 x^{-1} x − 1 ( x + 2 x 2 ) 6 \left(x+\dfrac{2}{x^2}\right)^6 ( x + x 2 2 ) 6 6 C r 2 r x 6 − 3 r {}_6\mathrm{C}_r\,2^r\,x^{6-3r} 6 C r 2 r x 6 − 3 r 6 − 3 r = 0 6-3r=0 6 − 3 r = 0 r = 2 r=2 r = 2 15 × 4 = 60 15\times4=60 15 × 4 = 60 r r r 0 0 0 n n n 0 0 0
给 x x x ( 1 + x ) n (1+x)^n ( 1 + x ) n x = 1 x=1 x = 1 2 n 2^n 2 n x = − 1 x=-1 x = − 1 0 0 0
怎么用 求某项系数分三步：① 写一般项，a a a b b b x x x r r r r r r 0 0 0 n n n n C r {}_n\mathrm{C}_r n C r ( − 1 ) r (-1)^r ( − 1 ) r ( 1 + a x ) 5 (1+ax)^5 ( 1 + a x ) 5 x 2 x^2 x 2 40 40 40 5 C 2 a 2 = 10 a 2 = 40 {}_5\mathrm{C}_2a^2=10a^2=40 5 C 2 a 2 = 10 a 2 = 40 a = ± 2 a=\pm2 a = ± 2 a a a
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本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。