余数定理、因式定理与高次方程

剰余の定理・因数定理と高次方程式

8 いろいろな式／剰余の定理と因数定理8 いろいろな式／高次方程式の解法と性質

一句话结论

$P(x)$ 除以 $x-a$ 的余数是 $P(a)$ ； $P(a)=0$ 就是 $x-a$ 能整除 $P(x)$ 。解高次方程就是找一个使 $P(a)=0$ 的 $a$ ，用组立除法降一次，直到剩下能解的一次、二次式。

$x^3-2x^2-5x+6$ 除以 $x-3$ ，老老实实做多项式除法要写好几行，可余数一步就能算出：把 $x=3$ 代进去， $27-18-15+6=0$ 。余数等于函数值，这是余数定理；余数为 $0$ 就说明 $x-3$ 是因式，这是因式定理。三次以上的方程没有好用的求根公式，EJU 里解它们几乎全靠这两条：先找出一个解，把次数降下来。

为什么是这样

多项式除法写成等式是 $P(x)=(x-a)Q(x)+R$ 。除式是一次的，余数次数更低，只能是常数。这个等式对所有 $x$ 都成立，那就挑最省事的 $x=a$ 代入： $x-a$ 变成 $0$ ，商 $Q(x)$ 再复杂也被乘没了，剩下 $P(a)=R$ 。除以 $ax+b$ 时代入使它为 $0$ 的 $x=-\dfrac{b}{a}$ 。

余数为 $0$ 就是整除，所以 $P(a)=0$ 与「 $x-a$ 是因式」是一回事。放到图上： $y=P(x)$ 与 $x$ 轴的每个交点 $x=a$ 都对应一个因式 $x-a$ ，方程 $P(x)=0$ 的解和 $P(x)$ 的一次因式一一对应。

除式是二次式时余数最多是一次式，设成 $px+q$ 。除式能分成两个不同的一次因式时，用它的两个零点代入，正好得两个方程解出 $p$ 、 $q$ ，用的还是「代入让除式为 $0$ 的值」。

定量表达

求商用组立除法（組立除法）：系数排成一行，缺的次数补 $0$ ；最左边的照抄，然后反复「乘零点 $a$ 、加到下一列」，最后一格是余数，前面依次是商的系数。除以 $ax+b$ 时，按 $x+\dfrac{b}{a}$ 做出的商要再除以 $a$ ，余数不变。

找使 $P(\alpha)=0$ 的 $\alpha$ ：系数都是整数时，有理数解只可能是「常数项的约数」除以「最高次系数的约数」再配上正负号；最高次系数是 $1$ 时只试常数项的正负约数。找到一个就降一次，剩下的二次式用公式。

三次方程的三个解与系数的关系，来源与二次时相同，比较 $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ 展开后的系数，见公式一览。在复数范围里 $n$ 次方程恰有 $n$ 个解。系数都是实数时，把等式整个取共轭可知： $p+qi$ 是解， $p-qi$ 也是解，虚数解成对出现；系数是有理数时 $p\pm q\sqrt{r}$ 同样成对。

P(x)=(x-a)Q(x)+R\ \Longrightarrow\ R=P(a);\qquad P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x)

$P(x)$: 被除的多项式
$x-a$: 一次的除式
$Q(x)$: 商
$R$: 余数；除式是一次的，余数是常数
$a$: 使除式为 $0$ 的值

适用条件

余数定理：除以 $ax+b$ 的余数是 $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$
因式定理： $P(a)=0$ 与「 $x-a$ 是 $P(x)$ 的因式」「 $x=a$ 是 $P(x)=0$ 的解」是同一件事
除式是二次式时余数设成 $px+q$ ，三次式时设成 $px^2+qx+r$ （次数比除式低）

怎么用

高次方程靠三种手段分解：公式（如 $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ ）、换元（ $x^4-5x^2+4=0$ 设 $x^2=X$ ）、因式定理。 $x^3=1$ 的解是 $1$ 和 $\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}$ ，记一个虚数解为 $\omega$ ，则 $\omega^3=1$ 、 $\omega^2+\omega+1=0$ ，如 $\omega^{100}=(\omega^3)^{33}\omega=\omega$ 。

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