解与系数的关系

为什么是这样

把求根公式给的两个解直接相加：根号部分一正一负，抵消后剩 $\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$。直接相乘：分子是平方差 $b^2-D=4ac$，除以 $4a^2$ 得 $\dfrac{c}{a}$。两个结果都不含根号。反过来，$a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}$ 展开后正好是 $ax^2+bx+c$，这就是因式分解 $a(x-\alpha)(x-\beta)$。

推导时没有用到 $D$ 的符号，所以这个关系在复数范围里总成立，重解时 $\alpha=\beta$ 也照用。也正因为如此，和与积都是正数并不能说明两个解都是正数：$x^2-2x+4=0$ 的和是 $2$、积是 $4$，解却是 $1\pm\sqrt{3}\,i$，根本没有正负。谈解的符号，先要用判别式确认它们是实数。

和与积之所以好用，是因为凡是 $\alpha$、$\beta$ 互换后不变的式子（对称式），都能只用 $\alpha+\beta$ 和 $\alpha\beta$ 写出来，如 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$，$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$。所以这类题不必解方程。

定量表达

上一段得到的 $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 就是复数范围里的因式分解：解出 $ax^2+bx+c=0$ 的两个解，再写成这个样子，前面的 $a$ 不能丢。如 $x^2+4=(x+2i)(x-2i)$。四次式先配成平方差或看成 $x^2$ 的二次式，分成两个二次式再各自分。说「複素数の範囲で」才分到虚数，说「実数の範囲で」分到无理数，不说时只分到有理数系数。

反过来，和为 $p$、积为 $q$ 的两个数就是 $x^2-px+q=0$ 的两个解。所以以 $\alpha$、$\beta$ 为解的二次方程可写成 $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$；和为 $2$、积为 $5$ 的两个数，就是 $x^2-2x+5=0$ 的解 $1\pm2i$。