多项式除法与分式

为什么是这样

竖式除法每一步做的事都一样：用除式的最高次项去对准被除式当前的最高次项，商出一项，乘回去再减掉。减完以后最高次项消失，剩下的式子次数至少降一次。一直降到余下部分的次数比除式低，再也对不准了，就停。所以余式的次数一定比除式低：除以二次式，余式是一次式或常数；除以一次式，余式是常数。

必须按降幂排、缺项留空位，原因和整数竖式里百位对百位一样：每次减法都是同类项对齐相减。被除式 $x^3-2x^2+4$ 没有 $x$ 项，若不在 $x$ 那一列留空，后面的 $x$ 项就会和常数项挤在同一列，从那一步起全错。

除完得到的等式 $A=BQ+R$ 对所有 $x$ 都成立。拿图里的例子代 $x=10$：$A=804$，$B=109$，$Q=7$，$R=41$，恰好是整数等式 $804=109\times7+41$。它在 $x$ 取任何值时都对，所以已知其中三样就能求第四样。

分式 $\dfrac{A}{B}$ 的分母 $B$ 含字母。它的规则全部来自分数：分子分母同乘或同除一个不为 $0$ 的式子，值不变。约分要找公因式，通分要找公分母，这两件事都靠因式分解才看得见，所以分式计算的第一步总是分解。

定量表达

除法的结果用下面的公式块表示。已知被除式、商、余式求除式时，移项得 $BQ=A-R$，于是 $B=(A-R)\div Q$，这次除法一定除得尽。两个字母的多项式要说清按哪个字母降幂，另一个字母当常数；选的字母不同，商和余式可能不同。

分式的乘除：$\dfrac{A}{B}\times\dfrac{C}{D}=\dfrac{AC}{BD}$，$\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\times\dfrac{D}{C}$。加减先通分成同分母再合并分子，公分母取各分母因式的最高次幂之积。结果要约到既约分式。分母不含字母的 $\dfrac{x+1}{2}$ 只是系数为分数的整式，不算分式。

两个常用变形。分子次数不低于分母时先做除法：$\dfrac{A}{B}=Q+\dfrac{R}{B}$，分子次数降下来，加减就轻松了。分母是两个一次式之积、两式之差为常数时，拆成部分分式：$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)$（$a\ne b$），连加时中间项成对抵消。繁分式把分子、分母同乘最里层的分母，一次去掉一层。