等式与不等式的证明

为什么是这样

等式 $A=B$ 的证明有三条路：把复杂的一边变成另一边；两边分别化成同一个式子；证明 $A-B=0$。有条件时（如 $a+b+c=0$），字母不再各自自由，先用条件消去一个（$c=-a-b$），剩下的字母自由了，就回到普通的恒等式。比例式 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 设成 $=k$，写成 $a=bk$、$c=dk$，也是在减少字母。

两个实数比大小只看差的符号，所以证明 $A\ge B$ 就是证明 $A-B\ge0$。「一定不小于 $0$」最可靠的来源是平方：实数的平方 $\ge0$，几个平方的和 $\ge0$，且只有每个平方都为 $0$ 时和才为 $0$。于是主线是作差，再配方或因式分解，看出非负；等号成立的条件同时读出来。

差里带根号或绝对值时看不出正负，就比平方：两边都非负时，$A\ge B\iff A^2\ge B^2$。这条要求非负，$-3<2$ 平方后却是 $9>4$。绝对值满足 $|a|^2=a^2$、$|ab|=|a||b|$、$|a|\ge a$，由此可证 $|a+b|\le|a|+|b|$。

相加平均与相乘平均的关系也是平方的结果：$a+b-2\sqrt{ab}=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge0$。图里半圆的半径是 $\dfrac{a+b}{2}$，垂线长是 $\sqrt{ab}$，半径总不短于垂线，两者只在 $a=b$ 时相等。

定量表达

不等式的基本性质：$a>b$ 且 $b>c$ 则 $a>c$；两边加同一个数不变；乘正数不变号，乘负数变号。所以两边乘含字母的式子之前，先确认它的正负。作差配方的典型结果是 $x^2+y^2\ge2xy$（差为 $(x-y)^2$）和 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$（差为 $(ay-bx)^2$，等号在 $ay=bx$ 时成立，称为柯西-施瓦茨不等式）。

相加平均与相乘平均的关系见下面的公式块。拿它求最小值有三个条件：两项都正；两项之积是常数；等号条件能在范围内取到。例如 $x>0$ 时 $x+\dfrac{9}{x}\ge2\sqrt{9}=6$，积 $x\cdot\dfrac{9}{x}=9$ 是常数，等号在 $x=\dfrac{9}{x}$ 即 $x=3$ 时成立，最小值才是 $6$。