恒等式

为什么是这样

方程只在某些 $x$ 上成立，恒等式在式子有意义的所有 $x$ 上都成立。展开公式、因式分解公式、除法的 $A=BQ+R$ 都是恒等式；$x^2=x+2$ 只在 $x=-1,\,2$ 成立，是方程。图的左边是方程，两条曲线只交于两点；恒等式则是两条曲线完全重合。

系数比较法的根据：一个不是零的 $n$ 次多项式最多有 $n$ 个根。两边相减，差 $P(x)-Q(x)$ 若对所有 $x$ 都等于 $0$，它就有无穷多个根，只能是每个系数都为 $0$ 的零多项式，于是同次项系数逐一相等。

同一条道理还说明了数值代入法的边界。两边都是二次以下时，差也是二次以下；它若在 $3$ 个不同的 $x$ 上为 $0$，就超过了 $2$ 个根的上限，只能是零多项式。所以代入「次数加一」个不同的值就够了。代入个数不够时，求出的系数只保证在那几个点成立，是必要条件，还要代回原式验证。

分式恒等式去分母以后，得到的多项式等式在除去使分母为 $0$ 的有限几个 $x$ 之外处处成立，仍然有无穷多个根，所以它本身也是恒等式。这就是为什么去分母后可以放心代入那些让原分母为 $0$ 的值。

定量表达

下面的公式块是系数比较法的依据。两种求法对照：系数比较法把右边展开、按降幂整理，同次项系数列成方程组，条件是充要的，不必验证；数值代入法挑使许多项变成 $0$ 的值代入，计算快，代入个数达到「次数加一」时不必验证，否则要验证。

两个字母的恒等式，如「$x,\,y$ についての恒等式」，先按 $x$ 整理，再要求每个系数作为 $y$ 的式子也恒为 $0$，结果是每个 $x^iy^j$ 的系数分别相等。「不论 $k$ 取何值都成立」是关于 $k$ 的恒等式：按 $k$ 整理成 $kA+B=0$，得 $A=0$ 且 $B=0$。带条件的恒等式（如在 $x+y=1$ 下对所有 $x,\,y$ 成立）先用条件消去一个字母，剩下的字母才是自由的，再比较系数。

除法的未知系数也用恒等式处理：除以二次式时余式设成 $cx+d$，写出 $A=BQ+R$，展开比较系数。能整除就是 $R=0$，可以直接设商，例如三次式被二次式整除时商是一次式，设成 $x+c$。