函数与图像

为什么是这样

只要 $x$ 定下来，$y$ 就恰好确定一个值，就说 $y$ 是 $x$ 的函数（関数），写成 $y=f(x)$；$x=a$ 时的 $y$ 写成 $f(a)$，叫函数值。求 $f(a)$ 就是把每一个 $x$ 换成 $a$，$a$ 是式子时要整体加括号：$f(x)=x^2-3x$ 时 $f(t-1)=(t-1)^2-3(t-1)$。

$x$ 允许取的范围叫定义域（定義域），$y$ 随之取到的范围叫值域（値域），其中最大、最小的数叫最大值（最大値）、最小值（最小値）。定义域写在式子后的括号里，如 $y=2x+1\ (0\le x\le3)$；没写就是让式子有意义的全部实数，$y=\sqrt{x}$ 的定义域是 $x\ge0$。

点 $(x,\,f(x))$ 的全体就是函数的图像。坐标轴把平面分成四块，从右上起逆时针叫第 1 到第 4 象限（象限），坐标符号依次是 $(+,+)$、$(-,+)$、$(-,-)$、$(+,-)$；坐标轴上的点不属于任何象限。

一次函数（1次関数）$y=ax+b\ (a\ne0)$ 的图像是直线：$x$ 每增加 $1$，$y$ 总增加同样的 $a$，倾斜处处一样。$a$ 叫斜率（傾き），图像过 $(0,\,b)$，$b$ 叫 $y$ 截距（切片）。$a>0$ 时右上がり，$x_1<x_2$ 总有 $f(x_1)<f(x_2)$，叫单调增加；$a<0$ 时右下がり，单调减少。$a=0$ 时 $y=b$ 是水平直线，叫常数函数（定数関数），不算一次函数。

定量表达

定义域限制为 $\alpha\le x\le\beta$ 时，图像只剩一条线段。函数单调，中间各点的 $y$ 都夹在两端之间，所以值域只算两端：$a>0$ 左端最低、右端最高，$a<0$ 反过来。

端点的等号要跟到底。$y=2x-1\ (1\le x<3)$：$x=1$ 时 $y=1$，取得到，画实心点；$x=3$ 时 $y=5$，取不到，画空心点。值域是 $1\le y<5$，最小值 $1$（$x=1$ 时）。最大值不存在：$y$ 能无限接近 $5$ 却等不到 $5$，比 $5$ 小的值又总能被超过。答题写「没有最大值」，最值连同取到它的 $x$ 一起写。