二次函数的图像与平移

2次関数のグラフと平行移動

3 2次関数／ 2次関数のグラフ

一句话结论

配方成 $y=a(x-p)^2+q$ ，图像就是 $y=ax^2$ 平移 $(p,\,q)$ ：轴是直线 $x=p$ ，顶点是 $(p,\,q)$ 。 $a$ 管形状（正负定开口， $\lvert a\rvert$ 定宽窄）， $(p,\,q)$ 管位置；平移不改 $a$ 。

二次函数的式子五花八门，系数有正有负、有分数，可它们的图像都是同一种曲线——抛物线（放物線）。更省事的是：只要 $x^2$ 的系数相同，两条抛物线的形状就一模一样，差别只在放的位置。所以读懂一个二次函数只要回答两件事：它长什么样，它被挪到了哪里。

为什么是这样

先看 $y=ax^2$ 。 $x$ 与 $-x$ 给出同一个 $y$ ，所以图像关于 $y$ 轴对称；这条对称轴叫轴（軸），轴与曲线的交点叫顶点（頂点），这里是原点。 $a>0$ 时 $y$ 不会是负数，曲线开口向上，叫「下に凸」； $a<0$ 时开口向下，叫「上に凸」。 $\lvert a\rvert$ 越大，离轴同样远时 $y$ 变得越多，开口越窄。

再看 $y=a(x-p)^2+q$ 。它在 $x=p+t$ 处的值，正是 $y=ax^2$ 在 $x=t$ 处的值加上 $q$ 。所以原图像上每一点 $(t,\,at^2)$ 都挪到了 $(t+p,\,at^2+q)$ ：整条曲线向右走 $p$ 、向上走 $q$ ，形状不变。括号里是「减 $p$ 」，因为新图像要晚 $p$ 才取到同样的值—— $p>0$ 是右移。

为什么配方就能读出顶点？ $(x-p)^2\ge0$ ，只在 $x=p$ 时为 0。 $a>0$ 时 $y\ge q$ ，最低点就是 $(p,\,q)$ ； $a<0$ 时它是最高点。 $x=p+t$ 与 $x=p-t$ 给出同一个 $y$ ，所以直线 $x=p$ 是轴。配方（平方完成）就是把一般式改写成这个样子，让顶点直接写在式子上。

定量表达

一般式 $y=ax^2+bx+c$ 的配方分三步：从含 $x$ 的两项提出 $a$ ；在括号里加上再减去 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ ；把减去的那项乘上 $a$ 移到括号外，结果见公式块。令 $x=0$ 得 $y=c$ ，图像过 $(0,\,c)$ 。

平移的规则对任何图像都成立： $y=f(x)$ 的图像沿 $x$ 轴方向平移 $p$ 、沿 $y$ 轴方向平移 $q$ ，得到 $y-q=f(x-p)$ 。理由是新图像上的点 $(x,\,y)$ 由原图像上的 $(x-p,\,y-q)$ 移来，而后者满足原式。

对称移动（対称移動）也用同一个想法，把「移来之前的点」代回原式：关于 $x$ 轴对称把 $y$ 换成 $-y$ ，关于 $y$ 轴对称把 $x$ 换成 $-x$ ，关于原点对称两个都换。对抛物线，看顶点和 $a$ 最快：关于 $x$ 轴或原点对称， $a$ 变号、开口翻转；关于 $y$ 轴对称， $a$ 不变。只把 $x$ 轴下方那一段翻上去，就得到 $y=\lvert f(x)\rvert$ 的图像。

y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}

$a$: $x^2$ 的系数，决定开口方向与宽窄
$b$: $x$ 的系数，和 $a$ 一起决定轴的位置
$c$: 常数项，即图像与 $y$ 轴交点的 $y$ 坐标
$x$: 自变量
$y$: 函数值

适用条件

$a\ne0$ （ $a=0$ 时不是二次函数）
轴是直线 $x=-\dfrac{b}{2a}$ ，顶点是 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$ ；考试时现场配方比背顶点公式更不容易错

怎么用

EJU 大题里常见三种问法。①求轴与顶点：配方后读出， $a\ne1$ 时减掉的那项别忘了乘 $a$ ，再把 $x=p$ 代回原式验 $q$ 。②「どのように平行移動すれば重なるか」：两式都配方，先确认 $x^2$ 的系数相同，再用后一个顶点减前一个顶点得平移量。③给出平移或对称移动求新方程：移动顶点、按需改 $a$ 的符号，再写顶点式；问「移动后成为某抛物线的原抛物线」时，把已知抛物线反向移动。几步连做时按顺序逐步跟踪顶点和 $a$ 。

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