二次方程式与判别式

2次方程式と判別式

3 2次関数／ 2次方程式の解

一句话结论

任何二次方程配方后都是 $X^2=k$ 的样子， $k$ 的符号由判别式 $D=b^2-4ac$ 决定。 $D>0$ 两个不同的实数解， $D=0$ 一个重解， $D<0$ 没有实数解； $x^2$ 的系数含字母时，先单独看它为 $0$ 的情况。

把实际问题翻成式子，最常得到的就是二次方程：长比宽多 3、面积是 40 的长方形，宽是多少？二次方程有的能一眼因式分解，有的只能用公式，有的根本没有实数解。EJU 更爱问的是：不解方程，只看系数，判断它有几个实数解。

为什么是这样

解二次方程靠的只有两条事实。一是两数之积为 $0$ ，其中至少一个是 $0$ ：左边能分解成 $AB=0$ ，就让每个因式分别等于 $0$ 。二是 $X^2=k$ ： $k>0$ 时 $X=\pm\sqrt{k}$ ，有两个； $k=0$ 时只有 $X=0$ ； $k<0$ 时没有实数满足，因为实数的平方不会是负数。

任何二次方程都能配方成第二种样子。 $ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$ 两边除以 $a$ 再配方，得到 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ 。右边的分母 $4a^2$ 总是正的，所以「 $X^2=k$ 」里 $k$ 的符号完全由 $b^2-4ac$ 决定。两边开平方、移项，就是求根公式（解の公式）。

于是 $b^2-4ac$ 的正负直接决定实数解的个数：正，两个不同的实数解；零，两个解重合成 $x=-\dfrac{b}{2a}$ ，叫重解（重解）；负，没有实数解。它因此叫判别式（判別式），记作 $D$ 。三种情况互不重叠、又包含了全部可能，所以反过来也成立：已知方程有重解，就能断定 $D=0$ 。

定量表达

公式里的 $\pm$ 一次给出两个解； $D=0$ 时根号为 $0$ ，两个解合成一个。 $x$ 的系数是偶数（ $b=2b'$ ）时用简化公式 $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}$ ，分子分母已经约掉了 $2$ ；判别式也只看 $\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$ 的符号，数字小，少出错。

动手前先整理：系数有分数、小数或 $\sqrt{2}$ 这类根式，两边乘同一个数化成整数； $x^2$ 的系数为负，两边乘 $-1$ 。式子里反复出现同一块，就整体换元： $2(x-1)^2-5(x-1)+2=0$ 设 $X=x-1$ ； $x^4-5x^2-36=0$ 设 $X=x^2$ ，得 $X=9$ 或 $X=-4$ ，但 $X=x^2$ 不能是负数，只剩 $x=\pm3$ 。

如果 $x^2$ 的系数含字母，而题目只说「方程式」没说「2次方程式」，系数为 $0$ 的情况也要算。那时它是一次方程 $Ax=B$ ： $A\ne0$ 时唯一解 $x=\dfrac{B}{A}$ ； $A=0$ 时， $B\ne0$ 无解， $B=0$ 则任何 $x$ 都是解。判别式只对二次方程有意义。

ax^2+bx+c=0\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

$a$: $x^2$ 的系数
$b$: $x$ 的系数
$c$: 常数项
$x$: 未知数，方程的解
$b^2-4ac$: 判别式 $D$ ，根号里的数

适用条件

$a\ne0$ （二次方程）， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是实数
实数解只在 $b^2-4ac\ge0$ 时存在； $b^2-4ac=0$ 时 $\pm$ 两项相同，只有一个解（重解） $x=-\dfrac{b}{2a}$
由配方 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ 两边开平方得到

怎么用

EJU 的问法和要写的条件一一对应：「重解をもつ」写 $D=0$ ，重解是 $x=-\dfrac{b}{2a}$ ；「異なる2つの実数解をもつ」写 $D>0$ ；「実数解をもつ」写 $D\ge0$ ，等号别丢。要证明「 $k$ がどんな値でも実数解をもつ」，就把 $D$ 整理成平方或平方和，说明 $D\ge0$ 。

登录后免费阅读全文

本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。

免费注册登录

本节公式一览
例题
容易错在哪里
自测
小结
日文术语