二次函数的最大与最小

为什么是这样

抛物线关于它的轴左右对称，所以函数值只看 $x$ 离轴有多远，不看在轴的哪一边。开口向上时，离轴越远函数值越大：轴左侧单调减少，右侧单调增加。在全体实数上，最小值落在顶点，最大值不存在；开口向下正好相反。

限定在区间里，最小值就是区间里离轴最近的点。轴落在区间里，最近的是顶点本身；轴在区间左外，最近的是左端；轴在右外，最近的是右端。所以最小值的三种情况，分界线是区间的两个端点。

最大值找离轴最远的点，它一定是某个端点，问题只剩「哪一端更远」。轴在区间中点左侧，右端更远；在右侧，左端更远；恰好在中点，两端一样远，同时取最大。所以最大值的分界线是区间的中点，不是两端。

两条补充。端点取不到时（如 $0<x<2$），本该落在那个端点上的最值就不存在，要答「没有」。开口向下时把「最近」「最远」对调：最大值看轴在不在区间里，最小值看轴在中点哪一侧。

定量表达

先配方成 $y=a(x-p)^2+q$，读出轴 $x=p$ 和顶点 $(p,\,q)$。在全体实数上，$a>0$ 时 $x=p$ 取最小值 $q$，没有最大值；$a<0$ 时 $x=p$ 取最大值 $q$，没有最小值。

设开口向上，区间 $\alpha\le x\le\beta$。把前面的道理写成式子就是下面的公式块：最小值拿 $p$ 和两端比，最大值拿 $p$ 和中点比。分界点处两边的式子算出来相等，所以等号写进哪一边都可以，答卷时常把它并进相邻的一种。

参数有两种放法，处理完全一样，因为决定情况的只是轴和区间的相对位置。动轴定区间：$f(x)=(x-a)^2+1$ 在 $-1\le x\le3$ 上，按 $a$ 与 $-1$、$3$ 比较求最小值，与中点 $1$ 比较求最大值。定轴动区间：轴 $x=1$、区间 $t\le x\le t+2$，「轴在区间里」写成 $t\le1\le t+2$，即 $-1\le t\le1$；「轴在中点左侧」写成 $1<t+1$，即 $t>0$。右端在动的 $0\le x\le t$ 也一样：最大值在 $t$ 越过 $0$ 关于轴的对称点时，从左端换到右端。