教材 · 数学 Course 2 · 函数
二次函数
2次関数
二次函数的图像与平移、最大最小（含参数的分类讨论）、由条件确定二次函数，以及它和二次方程、二次不等式的关系。EJU 每年必考。
学习目标
- 能用 记号求函数值，根据定义域端点的开闭写出一次函数、二次函数的值域，并判断最大值、最小值是否存在
- 能把二次函数配方成顶点式读出轴与顶点，按轴与区间的位置求含参数的最大最小值，并由顶点、交点、经过的点等条件求出二次函数
- 能用判别式判断二次方程实数解的个数、抛物线与 轴或直线的公共点个数，并据此解二次不等式、讨论解的分布
先读「函数与图像」熟悉函数值、定义域、值域和象限的说法；再读「二次函数的图像与平移」学会配方、读顶点；接着读「二次函数的最大与最小」和「二次函数的决定」，这两节是 EJU 大题的主干。然后转到方程一侧：「二次方程式与判别式」讲怎么解、有几个解，「图像与 x 轴、直线的交点」把解的个数画成图；最后读「二次不等式」和「解的分布」，把图像、判别式、轴的位置合起来用。
- 1函数与图像関数とグラフ函数是「一个 恰好对应一个 」； 能取的范围是定义域， 取到的范围是值域。一次函数单调，值域只看两端：斜率正时左低右高，斜率负时左高右低；端点取不到，那一端的最值就不存在。
- 2二次函数的图像与平移2次関数のグラフと平行移動配方成 ，图像就是 平移 ：轴是直线 ，顶点是 。 管形状（正负定开口， 定宽窄）， 管位置；平移不改 。
- 3二次函数的最大与最小2次関数の最大・最小开口向上时，区间里离轴最近的点取最小值，离轴最远的端点取最大值。所以最小值按「轴在区间左外、内、右外」分情况，分界点是区间两端；最大值按「轴在区间中点的哪一侧」分情况，分界点是中点。开口向下时两者对调。
- 4二次函数的决定2次関数の決定二次函数有三个系数，要三个条件来定。能写进式子形状的条件就写进去：顶点或轴已知用顶点式 ，与 轴的交点已知用两根式 ，只有普通的点才用一般式 解方程组。
- 5二次方程式与判别式2次方程式と判別式任何二次方程配方后都是 的样子， 的符号由判别式 决定。 两个不同的实数解， 一个重解， 没有实数解； 的系数含字母时，先单独看它为 的情况。
- 6图像与 x 轴、直线的交点グラフと x 軸の共有点图像与 轴的公共点 = 方程 的实数解，个数看判别式 。与直线的公共点先消去 ，看新方程的判别式： 交于两点， 相切， 没有公共点；「有公共点」是 。
- 7二次不等式2次不等式解二次不等式先解等于 的方程，再看抛物线在 轴上方还是下方。 的系数化成正数后， 取两个解的外侧， 取两个解之间；判别式 时图像（除切点外）整条在 轴上方。对所有 成立的条件是 、；只在区间上成立，则看区间里的最小值。
- 8解的分布解の存在範囲把「解在哪里」翻译成图像的条件：判别式管有没有交点，轴管交点偏向哪边， 的符号管 在不在两交点之间。开口向上时，两个解都大于 、轴 、； 夹在两解之间 ，一条就够。