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教材 · 数学 Course 2 · 函数

三角函数

三角関数

一般角与弧度法、三角函数的性质与图像、三角方程与不等式、加法定理及其应用、三角函数的合成。

学习目标

  • 能把任意角写成 α+2nπ\alpha+2n\pi 并说出它在第几象限，在度和弧度之间换算，用 l=rθl=r\theta、S=12r2θS=\dfrac12r^2\theta 求扇形的弧长、面积及其最大值。
  • 已知一个三角函数值和象限，能定出符号求出另外两个；能把任意角化成锐角求值，由 sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta 求出积、差与立方和；能从 y=asin⁡k(θ−p)+cy=a\sin k(\theta-p)+c 读出周期、最值和平移量，也能由图像反推式子。
  • 能在给定范围内解三角方程和不等式，用加法定理、倍角公式和合成把式子化成一种三角函数，再换元成二次函数等求最大最小值，按 EJU 答题卡的格式填到最后一空。
阅读路线

按顺序读。「一般角与弧度法」让角能转圈、改用弧度量角，后面全章都用弧度；「三角函数的定义与性质」在单位圆上定义 sin、cos、tan，符号、相互关系和化简公式都从点的位置读出来；「三角函数的图像」把角放到横轴上，学会周期、平移与伸缩。这三节是地基，接着读「三角方程与不等式」，在单位圆和图像上找满足条件的角；再读「加法定理及其应用」，得到倍角、半角公式；最后「三角函数的合成」把 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta 合成一个正弦，是 EJU Course 2 三角大题最常见的收尾。时间紧的话，前两节看结论、公式块和例题，把精力留给后四节。

  1. 1一般角与弧度法一般角と弧度法动径转过的量叫一般角，差 360∘360^\circ（2π2\pi）整数倍的角动径相同，写成 θ=α+2nπ\theta=\alpha+2n\pi。弧度是「弧长 ÷ 半径」，180∘=π180^\circ=\pi；用弧度表示中心角，扇形的弧长 l=rθl=r\theta，面积 S=12r2θ=12rlS=\dfrac12r^2\theta=\dfrac12rl。一般角と弧度法 · 约 1500 字
  2. 2三角函数的定义与性质三角関数の性質单位圆上，角 θ\theta 的动径与圆的交点是 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\,\sin\theta)，tan⁡θ\tan\theta 是动径的斜率。相互关系来自圆的方程 x2+y2=1x^2+y^2=1，化简公式来自点的对称；开方后的正负一律看象限。三角関数とその基本的な性質 · 约 1600 字
  3. 3三角函数的图像三角関数のグラフsin⁡\sin、cos⁡\cos 的图像是周期 2π2\pi 的波，tan⁡\tan 的图像周期 π\pi、有渐近线 θ=π2+nπ\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi。y=asin⁡k(θ−p)+cy=a\sin k(\theta-p)+c 是基本曲线横向压成 1∣k∣\dfrac{1}{|k|}、纵向拉成 ∣a∣|a| 倍，再平移 (p, c)(p,\,c)；周期 2π∣k∣\dfrac{2\pi}{|k|}。平移量要先提出 kk 再读。三角関数とそのグラフ · 约 1600 字
  4. 4三角方程与不等式三角関数を含む方程式・不等式解三角方程就是在单位圆上读角：sin⁡θ=a\sin\theta=a 看水平线 y=ay=a，cos⁡θ=a\cos\theta=a 看竖直线 x=ax=a，tan⁡θ=a\tan\theta=a 看过原点、斜率为 aa 的直线。不等式读的是线一侧的那段弧。换元时把角的范围一起换掉；化成 t=sin⁡θt=\sin\theta 或 t=cos⁡θt=\cos\theta 时带上 −1≤t≤1-1\le t\le1；数解的个数时，t=±1t=\pm1 只对应一个 θ\theta。三角関数とその基本的な性質 · 约 1500 字
  5. 5加法定理及其应用加法定理とその応用只需背两条：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta，cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta。差角、正切、二倍角、半角、三倍角都是它们代换出来的。解题时先统一角、再统一函数；由一个三角函数值求另一个时，正负号看象限。三角関数の加法定理・加法定理の応用 · 约 1700 字
  6. 6三角函数的合成三角関数の合成把系数 (a, b)(a,\,b) 看成平面上的点 PP：OPOP 的长 a2+b2\sqrt{a^2+b^2} 是振幅，OPOP 与 xx 轴所成的角 α\alpha 是相位，asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)。合成只适用于同一个角的正弦与余弦；求最值前先写出 θ+α\theta+\alpha 的范围。三角関数の合成 · 约 1700 字