三角函数的定义与性质

为什么是这样

始线放在 $x$ 轴正半轴，角 $\theta$ 的动径与以原点为圆心、半径 $r$ 的圆交于 $P(x,\,y)$，定义 $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$，$\cos\theta=\dfrac{x}{r}$，$\tan\theta=\dfrac{y}{x}$。换个半径只是把图放大，比值不变，所以只由 $\theta$ 决定；这就是「钝角的三角比」的定义，只是 $P$ 能走到下半圆。$\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$ 时 $x=0$，$\tan\theta$ 没有定义。

取 $r=1$ 的单位圆（単位円），$P$ 就是 $(\cos\theta,\,\sin\theta)$，$\tan\theta$ 是 OP 的斜率，即 OP 与直线 $x=1$ 交点 $T$ 的纵坐标。$P$ 只在圆上走，所以 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 在 $-1$ 到 $1$ 之间；$T$ 能走遍直线 $x=1$，所以 $\tan\theta$ 取全体实数。正负看 $P$ 的象限：$\sin$ 看上下，$\cos$ 看左右，$\tan$ 在第一、三象限为正。

角变就是 $P$ 动：加 $2\pi$ 回到原处；$-\theta$ 关于 $x$ 轴对称，纵坐标变号；$\pi+\theta$ 关于原点对称，两个坐标都变号；$\pi-\theta$ 关于 $y$ 轴对称，横坐标变号；$\dfrac{\pi}{2}+\theta$ 再转 $90^\circ$，$(x,\,y)$ 变成 $(-y,\,x)$。

定量表达

$P$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上，所以 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$；两边除以 $\cos^2\theta$ 得 $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$。知道象限和一个值，另两个就确定：给 $\sin$ 或 $\cos$ 用第一式，给 $\tan$ 先用第二式求 $\cos$，开方的正负由象限定。

把对称写成式子就是下面的化简表。任意角化成锐角分三步：负角用 $-\theta$ 化正；减去 $2\pi$ 的整数倍；再用 $\pi\pm\theta$ 或 $\dfrac{\pi}{2}\pm\theta$ 化成锐角。如 $\sin\left(-\dfrac56\pi\right)=-\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$。