三角函数的合成

为什么是这样

把加法定理倒过来读：$r\sin(\theta+\alpha)=r\cos\alpha\cdot\sin\theta+r\sin\alpha\cdot\cos\theta$。要它等于 $a\sin\theta+b\cos\theta$，只需 $r\cos\alpha=a$，$r\sin\alpha=b$，这正是点 $P(a,\,b)$ 到原点的距离 $r$ 和 $OP$ 的角 $\alpha$。所以合成就是把系数当成一个点，量出它的长度和角度。

振幅是 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ 而不是 $a+b$：两条波的峰不在同一个 $\theta$ 处，叠加时彼此抵消了一部分。合成只对同一个角成立。$\sin\theta$ 与 $\cos2\theta$ 周期不同，相加后不是正弦波，要先用二倍角公式化成一种函数。

定量表达

合成公式见下面公式块。$\alpha$ 是特殊角就直接写出，如点 $(1,\,-1)$ 给出 $\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$；不是特殊角时，如点 $(3,\,4)$，写成 $5\sin(\theta+\alpha)$ 并注明 $\cos\alpha=\dfrac35$，$\sin\alpha=\dfrac45$。

$\theta$ 不受限制时，最大值 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值 $-\sqrt{a^2+b^2}$。$\theta$ 有范围时令 $t=\theta+\alpha$，先换算 $t$ 的范围，再看 $\sin t$ 能取哪一段，最值往往到不了 $\pm r$。

$\sin\theta$、$\cos\theta$ 的二次齐次式（同次式）：用降次公式化成 $\sin2\theta$、$\cos2\theta$ 的一次式加常数。同时含 $\sin\theta+\cos\theta$ 与 $\sin\theta\cos\theta$ 的式子：令 $t=\sin\theta+\cos\theta$，则 $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}$，变成 $t$ 的二次函数，$t$ 的范围再由合成求出。