分数函数

为什么是这样

$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$）的定义域是 $x\ne0$。$|x|$ 很大时 $y$ 贴近 0，$x$ 贴近 0 时 $|y|$ 无限变大，曲线贴近两条坐标轴却碰不到，这样的直线叫渐近线（漸近線）。$k>0$ 时 $x$、$y$ 同号，图像在第一、三象限；$k<0$ 时在第二、四象限。$(x,\,y)$ 换成 $(-x,\,-y)$ 式子不变，所以图像关于原点对称。渐近线互相垂直的双曲线叫直角双曲线（直角双曲線）。

用 $x$ 的分式表示的函数叫分数函数（分数関数），定义域是使分母不为 0 的实数。把 $y=\dfrac{3x-1}{x-1}$ 的分子写成「分母的倍数＋余数」：$3x-1=3(x-1)+2$，$y=\dfrac{2}{x-1}+3$。和二次函数的顶点式一样，这是把 $y=\dfrac{2}{x}$ 向右移 1、向上移 3，渐近线移到 $x=1$ 和 $y=3$。

所以渐近线就是图像的「新坐标轴」：以两条渐近线的交点 $(p,\,q)$ 为原点，照着 $y=\dfrac{k}{x}$ 画即可。$\dfrac{k}{x-p}$ 永远不等于 0，所以 $y$ 取不到 $q$：定义域为 $x\ne p$ 时，值域是 $y\ne q$。

定量表达

公式块是一般情形，做题时不必背，凑「分母的倍数＋余数」即可：$\dfrac{4x+1}{2x-1}=\dfrac{2(2x-1)+3}{2x-1}=2+\dfrac{3}{2x-1}$，渐近线 $x=\dfrac12$、$y=2$。两个分数函数的图像能否平移重合，看化成 $\dfrac{k}{x-p}$ 后的 $k$ 是否相同；相同时，平移量就是渐近线交点的位移。

$y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 在渐近线两侧各是一段单调的曲线：$k>0$ 时两支都单调减少，$k<0$ 时都单调增加。限定定义域求值域时，先看区间有没有跨过 $x=p$。不跨，值域就夹在区间两端的函数值之间；跨过，图像断成两段，要分开读，值域也是两段。