无理函数

为什么是这样

根号里含字母的式子叫无理式（無理式），用它表示的函数叫无理函数（無理関数）。只在实数范围内考虑，所以定义域是使「根号内 $\ge0$」的 $x$，值域落在 $y\ge0$ 里。

$y=\sqrt{ax}$（$a\ne0$）两边平方得 $y^2=ax$，即 $x=\dfrac{y^2}{a}$：顶点在原点、以 $x$ 轴为轴的横放抛物线。但平方把 $y<0$ 的那半支也带了进来，而根号的值不会是负数，所以 $y=\sqrt{ax}$ 只是上半支；下半支是 $y=-\sqrt{ax}$，两者关于 $x$ 轴对称。$a>0$ 时图像在第一象限（$x\ge0$），$a<0$ 时在第二象限（$x\le0$）。

$\sqrt{ax+b}=\sqrt{a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)}$，所以 $y=\sqrt{ax+b}$ 是 $y=\sqrt{ax}$ 沿 $x$ 方向平移 $-\dfrac{b}{a}$。$a>0$ 时 $x$ 越大根号里越大，函数单调增加；$a<0$ 时单调减少。平方会「放大」解集：由 $A=B$ 推得出 $A^2=B^2$，反过来 $A^2=B^2$ 还包括 $A=-B$。那些在下半支上的点就是这样混进来的，这是后面一切验根的原因。

定量表达

化成 $\sqrt{a(x-p)}$ 的形式就能读出端点和方向。例如 $y=\sqrt{6-2x}=\sqrt{-2(x-3)}$：端点 $(3,\,0)$，向左伸出，单调减少，定义域 $x\le3$。另一个常见形 $y=\sqrt{r^2-x^2}$，平方得 $x^2+y^2=r^2$，取 $y\ge0$ 的部分，就是圆心在原点、半径 $r$ 的上半圆（半円）。

无理方程（無理方程式）用公式块里的同值变形。无理不等式（無理不等式）按另一边的正负分情况：$\sqrt{A}>B$ 时，$B<0$ 的部分只要 $A\ge0$ 就自动成立，$B\ge0$ 的部分才能平方成 $A>B^2$；$\sqrt{A}<B$ 则要 $A\ge0$、$B>0$、$A<B^2$ 同时成立。