反函数与合成函数

为什么是这样

若 $y=f(x)$ 的每个 $y$ 值只对应一个 $x$（一对一，1対1の関数），就能反过来把 $x$ 看成 $y$ 的函数 $x=g(y)$；自变量习惯写 $x$，交换字母得 $y=g(x)$，这就是反函数（逆関数）$f^{-1}(x)$。单调的函数一定一对一；$y=x^2$ 在全体实数上不是（$x=\pm2$ 都给出 4），限制成 $x\ge0$ 才有反函数 $y=\sqrt{x}$。

反函数的性质都来自一句话：$b=f(a)\iff a=f^{-1}(b)$。所以 $f$ 的值域就是 $f^{-1}$ 的定义域，$f$ 的定义域就是 $f^{-1}$ 的值域。点 $(a,\,b)$ 在 $y=f(x)$ 上，点 $(b,\,a)$ 就在 $y=f^{-1}(x)$ 上，而这两点关于直线 $y=x$ 对称，所以两条图像关于 $y=x$ 对称。$y=2^x$ 与 $y=\log_2x$ 就是这样一对。

合成函数（合成関数）要求 $f$ 的值域落在 $g$ 的定义域里，否则 $g(f(x))$ 没有意义。顺序一般不能换，结合律却成立：$h\circ(g\circ f)$ 与 $(h\circ g)\circ f$ 都是依次做 $f$、$g$、$h$。$f$ 与 $f^{-1}$ 一来一回什么都没变，$f^{-1}(f(x))=x$，$f(f^{-1}(x))=x$，这种函数叫恒等函数（恒等関数）。

定量表达

求反函数三步：① 求 $f$ 的值域，它将是答案的定义域；② 把 $y=f(x)$ 解成 $x=g(y)$；③ 交换 $x$、$y$，写成 $y=g(x)$ 并附上定义域。例如 $y=x^2+1$（$x\ge0$）：值域 $y\ge1$；$x\ge0$ 所以取正根 $x=\sqrt{y-1}$；反函数 $y=\sqrt{x-1}$（$x\ge1$）。

$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$（$c\ne0$，$ad-bc\ne0$）的反函数是 $\dfrac{-dx+b}{cx-a}$，所以 $f^{-1}=f$ 恰在 $a+d=0$ 时成立，图像自身关于 $y=x$ 对称。函数相等指定义域相同、每个 $x$ 的值也相同，所以要把 $f^{-1}(x)=f(x)$ 当作恒等式比较系数。