三角比与相互关系

为什么是这样

两个直角三角形只要有一个锐角相等就相似，对应边成比例。所以含锐角 $\theta$ 的直角三角形里，「对边÷斜边」是同一个数，只随 $\theta$ 变，叫正弦（サイン）$\sin\theta$；「邻边÷斜边」叫余弦 $\cos\theta$，「对边÷邻边」叫正切 $\tan\theta$。对边、邻边是相对于你盯着的那个角说的，换看另一个锐角，两者对调。

$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 不用查表，来自两块三角板：正三角形沿高对半切，得到三边为 $1,\ \sqrt3,\ 2$、两锐角为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 的直角三角形；正方形沿对角线切，得到 $1,\ 1,\ \sqrt2$ 和两个 $45^\circ$。特殊角的值都从这两张图现读。

把斜边定为 $1$，对边就是 $\sin\theta$，邻边就是 $\cos\theta$：勾股定理（三平方の定理）给出 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，对边÷邻边给出 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$。另一个锐角 $90^\circ-\theta$ 的对边正是 $\theta$ 的邻边，所以 $\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$：余弦就是余角的正弦。

定量表达

已知一个比，另外两个都能求出。已知 $\sin\theta$：由 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ 求 $\cos\theta$（锐角取正），再用 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$。已知 $\tan\theta$：先由 $\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$ 求 $\cos\theta$，再用 $\sin\theta=\tan\theta\cos\theta$。

反过来求边：对边 $=$ 斜边 $\times\sin\theta$，邻边 $=$ 斜边 $\times\cos\theta$，对边 $=$ 邻边 $\times\tan\theta$。非特殊角查三角比表（小数四位），结果用「≒」；题目没要求四舍五入时保留根号。