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教材 · 数学 Course 2 · 图形

式与曲线

式と曲線

抛物线、椭圆、双曲线，二次曲线的平移与和直线的关系，媒介变数表示，极坐标与极方程。

学习目标

  • 能从抛物线、椭圆、双曲线的方程读出焦点、准线、长轴短轴或顶点与渐近线，并按焦点、距离之和或差、渐近线等条件写出方程
  • 能把二次曲线平移后的方程配方还原成标准形，并用判别式或代入求二次曲线与直线的交点、切线和弦
  • 能在媒介变数表示、极坐标与极方程和直角坐标方程之间互相转换，用它们求轨迹或描出曲线
阅读路线

先读「抛物线」，从「到焦点与准线等距」理解焦点和准线，这也是二次函数图像的另一种看法；再读「椭圆」和「双曲线」，一个是到两焦点距离之和一定，一个是距离之差一定，对照着记两者 a、b、c 的关系（椭圆用减、双曲线用加）、长轴短轴与渐近线。三种标准形掌握后读「二次曲线的平移、与直线」：中心或顶点不在原点的方程靠配方还原，与直线的位置关系用联立后的判别式判断。最后读「媒介变数表示」和「极坐标与极方程」，用参数或角度、距离重新描述同一批曲线；离心率和椭圆、双曲线的准线放在「极坐标与极方程」里，用一个极方程把三种曲线统一起来。EJU 常在这里考参数消去和极方程化直角坐标。

  1. 1抛物线放物線到定点 F（焦点）与定直线 ℓ（准线）距离相等的点的轨迹是抛物线。顶点在原点时写成 y2=4pxy^2=4px（焦点 (p, 0)(p,\,0)、准线 x=−px=-p）或 x2=4pyx^2=4py（焦点 (0, p)(0,\,p)、准线 y=−py=-p）：先把方程凑成「平方 =4×( )×=4\times(\ )\times 一次」，括号里就是 pp。2次曲線（放物線，楕円，双曲線） · 约 1600 字
  2. 2椭圆楕円到两个焦点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。标准形 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 里分母大的那一边是长轴，焦点在长轴上，到中心的距离 cc 满足「大分母 − 小分母 =c2=c^2」；距离之和等于长轴长。2次曲線（放物線，楕円，双曲線） · 约 1600 字
  3. 3双曲线双曲線到两个焦点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线。标准形 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1：焦点 (±a2+b2, 0)(\pm\sqrt{a^2+b^2},\,0)，渐近线 y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x；右边是 −1-1 时焦点改到 yy 轴上。渐近线一律把右边换成 00 求。2次曲線（放物線，楕円，双曲線） · 约 1700 字
  4. 4二次曲线的平移、与直线2次曲線の平行移動と直線平移 (p,q)(p,q) 就把 xx、yy 换成 x−px-p、y−qy-q；反过来配方读出中心。曲线与直线一律代入消元：得二次方程看判别式，D=0D=0 是相切；得一次方程是只穿过一次，不是相切。弦的中点和弦长用根与系数的关系，切线用「x2→x1xx^2\to x_1x」的替换规则。2次曲線（放物線，楕円，双曲線） · 约 1500 字
  5. 5媒介变数表示媒介変数表示x=f(t)x=f(t)、y=g(t)y=g(t)：消去参数得到曲线的形状，参数的取值同时限制 xx、yy 的范围，要一起写出。椭圆写成 (acos⁡θ, bsin⁡θ)(a\cos\theta,\,b\sin\theta) 后，曲线上的最值问题变成三角函数的合成；θ\theta 不是 OPOP 的倾角。媒介変数による表示 · 约 1600 字
  6. 6极坐标与极方程極座標と極方程式极坐标 (r,θ)(r,\theta) 与直角坐标靠 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta、r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 互换；(−r,θ)(-r,\theta) 与 (r,θ+π)(r,\theta+\pi) 是同一点。到焦点与到准线的距离之比为 ee 的点画出二次曲线，焦点为极时三种曲线统一成 r=ed1+ecos⁡θr=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta}。極座標と極方程式 · 约 1700 字