二次曲线的平移、与直线

2次曲線の平行移動と直線

16 式と曲線／ 2次曲線（放物線，楕円，双曲線）

一句话结论

平移 $(p,q)$ 就把 $x$ 、 $y$ 换成 $x-p$ 、 $y-q$ ；反过来配方读出中心。曲线与直线一律代入消元：得二次方程看判别式， $D=0$ 是相切；得一次方程是只穿过一次，不是相切。弦的中点和弦长用根与系数的关系，切线用「 $x^2\to x_1x$ 」的替换规则。

前三节的抛物线、椭圆、双曲线都摆在最标准的位置：顶点或中心在原点，轴就是坐标轴。真题里的曲线常被挪了位置，写成一长串展开式；再拿一条直线去碰它，问有几个公共点、弦多长、切线是哪条。这一节解决这两件事：认出被平移的曲线，处理曲线和直线的关系。

为什么是这样

曲线 $F(x,y)=0$ 整体平移 $(p,q)$ ，形状不变。新曲线上的点 $(x,y)$ 往回退 $(p,q)$ 就落回原曲线，所以它满足 $F(x-p,\ y-q)=0$ 。这和二次函数图像的平移是同一个道理：式子里减 $p$ ，图向右移 $p$ 。中心、顶点、焦点、渐近线全部走同一步。

把平移后的标准形展开，得到 $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$ ，没有 $xy$ 项。反过来见到这种式子，先看平方项： $A$ 、 $B$ 同号是椭圆（ $A=B$ 是圆），异号是双曲线，只有一个平方项是抛物线；再对 $x$ 、 $y$ 分别配方，读出中心和 $a$ 、 $b$ 。配方后右边若是 $0$ 或负数，图形只是一个点、两条直线或根本不存在。带 $xy$ 项的是转过角度的曲线，EJU 不要求化简。

曲线和直线的公共点就是联立方程的实数解。代入消去 $y$ ，得二次方程时，判别式 $D>0$ 、 $D=0$ 、 $D<0$ 分别是交于两点、相切、没有公共点。但 $x^2$ 的系数可能消成 $0$ ：双曲线遇到平行于渐近线的直线、抛物线遇到平行于轴的直线，都只穿过一次，只有一个公共点却不是相切。

定量表达

曲线上一点处的切线见公式块，只记一条替换规则： $x^2$ 换成 $x_1x$ ， $y^2$ 换成 $y_1y$ ， $2x$ 换成 $x+x_1$ 。抛物线的切线交 $x$ 轴于 $(-x_1,0)$ ，它到焦点的距离和切点到焦点的距离都是 $x_1+p$ ，所以切线与 $PF$ 、与轴的夹角相等，平行于轴射来的光反射后都汇到焦点。

已知斜率 $m$ 的切线：设 $y=mx+n$ 代入，令 $D=0$ 解 $n$ 。结果是椭圆 $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ ，双曲线 $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$ （要 $a^2m^2>b^2$ ），抛物线 $y^2=4px$ 是 $y=mx+\dfrac{p}{m}$ 。

设交点的 $x$ 坐标为 $\alpha$ 、 $\beta$ ，它们是消元后方程的两根。直线斜率为 $m$ 时，弦长是 $\sqrt{1+m^2}\,|\beta-\alpha|$ ，弦的中点横坐标是 $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ ，纵坐标代回直线。两者都由根与系数的关系直接算出，不必求根。

\begin{array}{lll} y^2=4px & \longrightarrow & y_1y=2p(x+x_1)\\[4pt] \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 & \longrightarrow & \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\\[8pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\pm1 & \longrightarrow & \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=\pm1 \end{array}

$(x_1,\ y_1)$: 切点，必须在曲线上
$x,\ y$: 切线上的动点坐标
$p$: 抛物线 $y^2=4px$ 的焦点 $(p,\,0)$ 中的 $p$ ， $p\ne0$
$a,\ b$: 椭圆、双曲线标准形中的正的常数

适用条件

只适用于曲线上的点；从曲线外的点引切线，要先设切点再用它
规则： $x^2\to x_1x$ ， $y^2\to y_1y$ ， $2x\to x+x_1$ 。平移过的曲线把 $x$ 、 $x_1$ 换成 $x-p$ 、 $x_1-p$ （ $y$ 同理）再套

怎么用

先看问什么。问公共点个数或参数范围，用判别式，并先看 $x^2$ 的系数会不会为 $0$ ；问弦的中点、弦长，用根与系数的关系；中点随参数移动时，从中点坐标里消去参数得轨迹，再把 $D>0$ 给出的参数范围换成 $x$ 的范围。已知切点就套公式；从曲线外一点引切线，设切点 $(x_1,y_1)$ ，让切线过已知点，再与「切点在曲线上」联立。曲线上的点到一条直线的最短距离，在与它平行的切线的切点处取到。

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