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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 式与曲线

媒介变数表示

媒介変数表示

16 式と曲線 ／ 媒介変数による表示
一句话结论

x=f(t)x=f(t)、y=g(t)y=g(t)：消去参数得到曲线的形状，参数的取值同时限制 xx、yy 的范围，要一起写出。椭圆写成 (acos⁡θ, bsin⁡θ)(a\cos\theta,\,b\sin\theta) 后，曲线上的最值问题变成三角函数的合成；θ\theta 不是 OPOP 的倾角。

描述一个动点，最自然的说法常常不是「xx 和 yy 满足什么关系」，而是「到第 tt 秒它在哪里」。沿圆周转的点、滚动的车轮边上的一点都是这样。用第三个变量分别写出 xx 和 yy，就是媒介变数表示。EJU Course 2 常这样给出曲线，再接求切线、面积和曲线的长度。

为什么是这样

x=f(t)x=f(t)、y=g(t)y=g(t) 让每个 tt 对应平面上一个点，tt 变化时点画出曲线，tt 叫媒介变数。从两式中消去 tt，得到 xx、yy 的直接关系，曲线的形状就看出来了。同一条曲线可以有很多种表示：(t, t2)(t,\ t^2) 和 (t+1, t2+2t+1)(t+1,\ t^2+2t+1) 画的都是 y=x2y=x^2。

圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 上的点按转角 θ\theta 写成 (acos⁡θ, asin⁡θ)(a\cos\theta,\ a\sin\theta)。椭圆是把这个圆沿 yy 方向压成 ba\dfrac{b}{a} 倍，所以椭圆上的点是 (acos⁡θ, bsin⁡θ)(a\cos\theta,\ b\sin\theta)：θ\theta 是圆上对应点 QQ 的转角，不是椭圆上的点 PP 与 xx 轴的夹角。双曲线利用 1cos⁡2θ−tan⁡2θ=1\dfrac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1，抛物线 y2=4pxy^2=4px 取它与直线 y=2pty=2pt 的交点，同样能写成参数式。

消去参数时还要看参数给 xx、yy 的限制：cos⁡θ\cos\theta 只在 −1-1 到 11 之间，t\sqrt t 和 t2t^2 不会是负数。消元得到的方程描述一整条曲线，点实际可能只走其中一段，这段范围要另外写出来。

椭圆的参数式 (a cos θ, b sin θ)：θ 是辅助圆上点 Q 的转角xyOθQPabQ(a cos θ, a sin θ)：圆上的点P(a cos θ, b sin θ)：椭圆上的点P 由 Q 竖直压成 b/a 倍得到θ = ∠QOx，不是 ∠POx图中 a=3，b=2，θ=π/3：P(3/2, √3)，OP 的倾角比 θ 小

定量表达

四种二次曲线的标准参数式见公式块。曲线平移时参数式直接加上平移量，所以 x=3cos⁡θ+2x=3\cos\theta+2、y=4sin⁡θ+1y=4\sin\theta+1 是中心在 (2, 1)(2,\,1) 的椭圆 (x−2)29+(y−1)216=1\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-1)^2}{16}=1。

圆还有不用三角函数的写法：过 (−a, 0)(-a,\,0) 作斜率 tt 的直线，它与圆的另一个交点是 (a(1−t2)1+t2, 2at1+t2)\left(\dfrac{a(1-t^2)}{1+t^2},\ \dfrac{2at}{1+t^2}\right)，取不到 (−a, 0)(-a,\,0) 本身。反过来见到这类分式，用 t=yx+at=\dfrac{y}{x+a} 这类关系把 tt 换掉即可消去。

半径 aa 的圆沿 xx 轴无滑动地滚动，圆上一点画出摆线（サイクロイド）。圆转过 θ\theta 时圆心前进弧长 aθa\theta，到达 (aθ, a)(a\theta,\ a)；该点相对圆心的位置是 (−asin⁡θ, −acos⁡θ)(-a\sin\theta,\ -a\cos\theta)，两者相加就是下面公式块里的式子。

摆线：半径 a 的圆无滑动地滚动，圆上一点 P 画出的曲线xyO2aC(aθ, a)POA = aθA2πa圆转过 θ 时，圆心前进的距离等于滚过的弧长 aθ（无滑动）。P = 圆心 (aθ, a) + (−a sin θ, −a cos θ)，所以 x = a(θ − sin θ)，y = a(1 − cos θ)。转一圈前进 2πa，最高点高 2a，然后同样的拱形一个接一个重复。
x2+y2=a2(x, y)=(acos⁡θ, asin⁡θ)x2a2+y2b2=1(x, y)=(acos⁡θ, bsin⁡θ)x2a2−y2b2=1(x, y)=(acos⁡θ, btan⁡θ)y2=4px(x, y)=(pt2, 2pt)\begin{array}{ll} x^2+y^2=a^2 & (x,\ y)=(a\cos\theta,\ a\sin\theta)\\[4pt] \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 & (x,\ y)=(a\cos\theta,\ b\sin\theta)\\[8pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 & (x,\ y)=\left(\dfrac{a}{\cos\theta},\ b\tan\theta\right)\\[8pt] y^2=4px & (x,\ y)=(pt^2,\ 2pt) \end{array}
θ, t\theta,\ t
媒介变数（参数）。圆、椭圆、双曲线用角 θ\theta，抛物线用实数 tt
a, ba,\ b
圆的半径；椭圆、双曲线标准形中的正的常数
pp
抛物线 y2=4pxy^2=4px 的焦点 (p, 0)(p,\,0) 中的 pp
x, yx,\ y
曲线上点的坐标
适用条件
  • 圆、椭圆取 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 走一整圈；双曲线要 cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0；抛物线 tt 取全体实数
  • 椭圆的 θ\theta 是辅助圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 上对应点的转角（離心角），不是椭圆上的点与 xx 轴的夹角
  • 曲线平移 (p0, q0)(p_0,\,q_0) 时参数式直接加：x=f(t)+p0x=f(t)+p_0，y=g(t)+q0y=g(t)+q_0

怎么用

问「点画出什么曲线」：消去参数。三角函数用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 或倍角公式，分式用 y=txy=tx 一类关系；最后写出 xx 或 yy 的范围。问曲线上点的最值：把所求量写成参数的函数。椭圆上的一次式 px+qypx+qy 变成 pacos⁡θ+qbsin⁡θpa\cos\theta+qb\sin\theta，用合成一步求出；两个动点的距离、含参数的抛物线顶点的轨迹也一样，先用参数写出动点再消去或求最值。

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