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教材 · 数学 Course 2 · 图形

图形与方程

図形と方程式

坐标与内分外分点、直线方程与两直线关系、点到直线距离、圆的方程、圆与直线、轨迹与不等式表示的区域。

学习目标

  • 能用坐标求两点间距离、内分点与外分点、重心和对称点，并会选取「零多、对称」的坐标证明图形性质
  • 能按条件写出直线和圆的方程，用系数判断两直线平行、垂直或重合，用距离公式求点到直线的距离、对称点和三角形面积
  • 能用圆心到直线的距离、两圆圆心距判断位置关系并求切线，会求满足条件的点的轨迹，并画出不等式表示的区域求最值
阅读路线

先读「直线上与平面上的点」掌握距离、内分外分与重心，这是整章的计算工具；再读「直线方程与两直线关系」学会写直线、用系数判断平行垂直；接着读「对称点与点到直线的距离」，把垂直条件和距离公式用到面积和最短路径上；然后读「圆的方程」，在标准式与一般式之间互化。有了直线和圆，读「圆与直线、圆的切线」和「两圆」处理位置关系与切线；最后读「轨迹与方程」和「不等式表示的区域」，前者把条件翻译成方程，后者把不等式画成区域，EJU 常在区域上求一次式或二次式的最大最小值。

  1. 1直线上与平面上的点点の座標距离用勾股定理，内分点是两端坐标的加权平均（权重交叉），外分把 nn 换成 −n-n，重心是三顶点坐标的平均。对称点、平行四边形的顶点都归结为「中点重合」；只给三个顶点、没给顺序的平行四边形，第四个顶点有三个位置。点の座標 · 约 1700 字
  2. 2直线方程与两直线关系直線の方程式所有直线都能写成一般式 ax+by+c=0ax+by+c=0；两直线平行（含重合）看 a1b2−a2b1=0a_1b_2-a_2b_1=0，垂直看 a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0。含参数时用系数条件，解出平行的值要再分辨「平行不重合」还是「重合」。过两直线交点的直线写成 kf+g=0kf+g=0，定点题把方程按参数整理。直線の方程式 · 约 1600 字
  3. 3对称点与点到直线的距离点と直線の距離PP 关于直线 ℓ\ell 的对称点 QQ：PQ⊥ℓPQ\perp\ell，且 PQPQ 的中点在 ℓ\ell 上，两个条件缺一不可。点到直线的距离 d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}。折线 AP+PBAP+PB 的最小值，同侧时先翻折再连直线；三角形面积用「底 × 距离 ÷ 2」。点と直線の距離 · 约 1600 字
  4. 4圆的方程円の方程式圆心 (a, b)(a,\,b)、半径 rr 的圆是 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2（标准式）；展开成 x2+y2+lx+my+n=0x^2+y^2+lx+my+n=0（一般式）后，配方看右边：正是圆，零是一点，负是空。知道圆心、半径的线索用标准式，只给圆上三点用一般式。円の方程式 · 约 1500 字
  5. 5圆与直线、圆的切线円と直線比较圆心到直线的距离 dd 和半径 rr：d<rd<r 交于两点，d=rd=r 相切，d>rd>r 不相交。弦长 =2r2−d2=2\sqrt{r^2-d^2}；圆上点 (x1,y1)(x_1,y_1) 处的切线是 (x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2。要坐标才联立方程。円と直線の関係 · 约 1500 字
  6. 6两圆2つの円设半径 rr、r′r'，圆心距 dd：∣r−r′∣<d<r+r′|r-r'|<d<r+r' 交于两点，d=r+r′d=r+r' 外切，d=∣r−r′∣d=|r-r'| 内切。两圆方程（二次项系数都化成 11）相减得公共弦所在直线；kf+g=0kf+g=0 是过两交点的直线或圆。円と直線の関係 · 约 1500 字
  7. 7轨迹与方程軌跡と方程式设动点 P(x,y)P(x,y)，把条件写成 xx、yy 的方程，认出图形，再检查有没有要除去的点或只取一部分。跟着别的点动的，用 xx、yy 表示那个点的坐标再代入；由参数决定的，消去参数并把参数的范围带到 xx 上。軌跡と方程式 · 约 1400 字
  8. 8不等式表示的区域不等式の表す領域先把不等号换成等号画出边界，再定哪一侧：y>f(x)y>f(x) 是上侧，圆内是 (x−a)2+(y−b)2<r2(x-a)^2+(y-b)^2<r^2。联立取公共部分，乘积按符号拆成两组取并集；求最值就令目标式等于 kk，看它与区域最后接触的位置。不等式の表す領域 · 约 1500 字