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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形与方程

圆与直线、圆的切线

円と直線

9 図形と方程式 ／ 円と直線の関係
一句话结论

比较圆心到直线的距离 dd 和半径 rr：d<rd<r 交于两点，d=rd=r 相切，d>rd>r 不相交。弦长 =2r2−d2=2\sqrt{r^2-d^2}；圆上点 (x1,y1)(x_1,y_1) 处的切线是 (x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2。要坐标才联立方程。

拿一把直尺在圆旁边平推：离得远时碰不到，推近到刚好擦过圆，只碰一个点，再推近就切出一段弦。这类题表面上要解联立方程，答案其实全藏在一个量里：圆心到直线有多远。EJU 问的「有几个公共点」「截得的弦多长」「切线方程是什么」，都可以从这个距离出发。

为什么是这样

圆是离圆心 CC 的距离等于 rr 的点的全体。直线上离 CC 最近的点是垂足 HH，CH=dCH=d，其余的点都比 HH 远。d>rd>r 时整条直线都在圆外；d=rd=r 时只有 HH 落在圆上，所以切点就是垂足，切线垂直于过切点的半径；d<rd<r 时 HH 在圆内，直线从两侧穿出，两个交点关于 CHCH 对称，HH 正是弦的中点。

代数上，公共点就是联立方程的实数解。把直线代入圆、消去一个字母，得到一个二次方程，它有几个实数解，就有几个公共点：判别式 D>0D>0、D=0D=0、D<0D<0 分别对应两点、相切、没有公共点。这和比较 dd、rr 说的是同一件事，只是走了另一条路。

从图上还能直接读出两个常用的量。直角三角形 CHACHA 里斜边是半径 rr，一条直角边是 dd，所以半弦 AH=r2−d2AH=\sqrt{r^2-d^2}，弦长是它的两倍。直线与圆不相交时，圆上的点到直线的距离最小是 d−rd-r，最大是 d+rd+r，分别在 CHCH 所在直线与圆的两个交点处取到。

圆心到直线的距离 d 与半径 r 决定圆与直线的位置关系d < r：交于两点CHdrABD > 0弦长 = 2√(r² − d²)d = r：相切CHd = r切点D = 0半径 ⊥ 切线，切点即垂足d > r：没有公共点CHdd − rD < 0圆上点到直线最短 d − r

定量表达

设圆 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，直线 lx+my+n=0lx+my+n=0。用点到直线的距离公式求出 dd，与 rr 比较，就得到下面公式块里的三种情况。直线含参数时，d<rd<r、d=rd=r 直接给出参数的范围或取值，不必解联立方程。

切线公式的来历：切线过切点 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，并且垂直于半径 CPCP，所以它的方程是 (x1−a)(x−x1)+(y1−b)(y−y1)=0(x_1-a)(x-x_1)+(y_1-b)(y-y_1)=0。把 x−x1x-x_1 拆成 (x−a)−(x1−a)(x-a)-(x_1-a)、y−y1y-y_1 也同样拆开，再用 PP 在圆上这个条件 (x1−a)2+(y1−b)2=r2(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2，就整理成公式。圆心在原点时就是 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2。

弦长另有一法：交点的 xx 坐标 α\alpha、β\beta 是消元后二次方程的两根，直线斜率为 kk 时弦长的平方是 (1+k2)(β−α)2(1+k^2)(\beta-\alpha)^2，用解与系数的关系算 (β−α)2=(α+β)2−4αβ(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta，不必把根求出来。

d<r⇔ D>0交于两点d=r⇔ D=0相切（一个公共点）d>r⇔ D<0没有公共点d=∣la+mb+n∣l2+m2\begin{array}{lll} d<r & \Leftrightarrow\ D>0 & \text{交于两点}\\ d=r & \Leftrightarrow\ D=0 & \text{相切（一个公共点）}\\ d>r & \Leftrightarrow\ D<0 & \text{没有公共点}\end{array}\qquad d=\dfrac{|la+mb+n|}{\sqrt{l^2+m^2}}
(a, b), r(a,\ b),\ r
圆 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 的圆心与半径
l, m, nl,\ m,\ n
直线 lx+my+n=0lx+my+n=0 的系数，ll、mm 不同时为 00
dd
圆心到直线的距离
DD
把直线代入圆的方程、消去一个字母后所得二次方程的判别式
适用条件
  • dd 的公式要求直线写成 lx+my+n=0lx+my+n=0 的形式（右边为 00）
  • DD 的三种情况只在消元后确实是二次方程时成立；两种判别法结论一致，只问位置关系时用 dd 计算量小

怎么用

先看题目要什么。只问位置关系、公共点个数或参数范围，用 dd 与 rr 比较；要交点坐标，才联立方程，代入时选不会出分数的那个字母消去；要弦长，先算 dd 再用 2r2−d22\sqrt{r^2-d^2}。求切线分三种已知条件：已知切点，直接用公式；已知斜率 kk，设 y=kx+cy=kx+c，由 d=rd=r 求 cc，一般得两条；过圆外一点 (p,q)(p,q)，设切点 (x1,y1)(x_1,y_1)，切线 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 要过 (p,q)(p,q)，再加上切点在圆上，联立解出切点。

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