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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形与方程

圆的方程

円の方程式

9 図形と方程式 ／ 円の方程式
一句话结论

圆心 (a, b)(a,\,b)、半径 rr 的圆是 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2（标准式）；展开成 x2+y2+lx+my+n=0x^2+y^2+lx+my+n=0（一般式）后，配方看右边：正是圆，零是一点，负是空。知道圆心、半径的线索用标准式，只给圆上三点用一般式。

圆规画圆时，针尖不动，笔尖到针尖的距离始终不变。圆就是「到一个定点的距离等于定长的点的全体」。把这句话用两点间的距离公式写出来，就得到圆的方程。反过来，题目给你一个展开了的二次式，你要能看出它是不是圆、圆心在哪、半径多大，还要会根据「经过三点」「与坐标轴相切」这类条件把圆求出来。

为什么是这样

设圆心 C(a, b)C(a,\,b)、半径 rr。点 P(x, y)P(x,\,y) 在圆上，就是 CP=rCP=r。两边都非负，可以平方去掉根号，得到 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，这就是标准式（基本形）。圆心在原点时简化为 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2。从式子读圆心要变号，(x+3)2(x+3)^2 对应 a=−3a=-3；右边是半径的平方，不是半径。

把标准式展开，得到 x2+y2+lx+my+n=0x^2+y^2+lx+my+n=0 的形状，叫一般式（一般形）。它的特征是 x2x^2 与 y2y^2 的系数相等、没有 xyxy 项。反过来，这种形状不一定是圆：对 xx、yy 分别配方，右边是 l2+m2−4n4\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}。这个数为正才是圆；为 0 时只有圆心一点满足；为负时两个平方之和不可能是负数，没有点满足。

圆由三个独立的量决定：圆心的两个坐标和半径，所以三个条件定一个圆，例如经过不在同一直线上的三点。条件是圆心、半径类的线索，用标准式；条件是圆上的点，用一般式，代入后是关于 ll、mm、nn 的一次方程组，比标准式少了平方。

圆是到圆心距离为 r 的点的全体，平方后得标准式；一般式配方后，右边为正、为零、为负分别是圆、一点、空xyOC(a, b)P(x, y)rx − ay − b勾股：(x − a)² + (y − b)² = r²CP = r 两边平方，根号消失配方后：(x − p)² + (y − q)² = kk > 0圆，半径 √kk = 0只有一点 (p, q)k < 0∅没有点，不是图形一般式 x² + y² + lx + my + n = 0 中k = (l² + m² − 4n) ÷ 4平方之和不会是负数，所以 k < 0 时没有点

定量表达

配方的做法和二次函数一样：xx 的系数取一半再平方，两边同时加上，yy 也一样，结果见下面的公式块。例如 x2+y2+6x−8y=0x^2+y^2+6x-8y=0，两边加 99 和 1616，得 (x+3)2+(y−4)2=25(x+3)^2+(y-4)^2=25：圆心 (−3, 4)(-3,\,4)，半径 55，并且经过原点。

以 A(x1, y1)A(x_1,\,y_1)、B(x2, y2)B(x_2,\,y_2) 为直径两端的圆：圆心是 ABAB 的中点，半径是 12AB\dfrac12AB。也可以用「直径所对的圆周角是直角」一步写出：PA⊥PBPA\perp PB 的斜率条件去分母，就是 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0，AA、BB 本身也满足它，不用另外讨论。

x2+y2+lx+my+n=0  ⟺  (x+l2)2+(y+m2)2=l2+m2−4n4x^2+y^2+lx+my+n=0\iff\left(x+\dfrac l2\right)^2+\left(y+\dfrac m2\right)^2=\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}
l, m, nl,\ m,\ n
一般式中 xx 的系数、yy 的系数与常数项
x, yx,\ y
图形上任一点的坐标
(−l2, −m2)\left(-\dfrac l2,\,-\dfrac m2\right)
表示圆时的圆心
l2+m2−4n4\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}
表示圆时的半径的平方
适用条件
  • l2+m2−4n>0l^2+m^2-4n>0 时是圆，半径 l2+m2−4n2\dfrac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}
  • l2+m2−4n=0l^2+m^2-4n=0 时只有一点 (−l2, −m2)\left(-\dfrac l2,\,-\dfrac m2\right)
  • l2+m2−4n<0l^2+m^2-4n<0 时没有点满足，不表示任何图形

怎么用

先判断用哪种式子。与 yy 轴相切说明圆心到 yy 轴的距离等于半径，r=∣a∣r=|a|；与 xx 轴相切则 r=∣b∣r=|b|。圆心在直线 y=2x+1y=2x+1 上，就设圆心 (t, 2t+1)(t,\,2t+1)，只剩一个未知数。例如圆心在 y=x+1y=x+1 上、与 xx 轴相切、经过 (3, 2)(3,\,2)：设圆心 (t, t+1)(t,\,t+1)、半径 ∣t+1∣|t+1|，代入得 (3−t)2+(1−t)2=(t+1)2(3-t)^2+(1-t)^2=(t+1)^2，即 t2−10t+9=0t^2-10t+9=0，t=1t=1 或 99，有 (x−1)2+(y−2)2=4(x-1)^2+(y-2)^2=4 和 (x−9)2+(y−10)2=100(x-9)^2+(y-10)^2=100 两个圆。条件化成二次方程时，答案常有两个。

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