轨迹与方程

軌跡と方程式

9 図形と方程式／軌跡と方程式

一句话结论

设动点 $P(x,y)$ ，把条件写成 $x$ 、 $y$ 的方程，认出图形，再检查有没有要除去的点或只取一部分。跟着别的点动的，用 $x$ 、 $y$ 表示那个点的坐标再代入；由参数决定的，消去参数并把参数的范围带到 $x$ 上。

让一个点按规则移动：始终保持到两个定点的距离之比是 $3:1$ ，或者始终是某条线段的中点而线段另一端在圆上跑。它走过的痕迹就是轨迹。求轨迹就是两件事：把规则翻译成 $x$ 、 $y$ 的方程，再认出这个方程画的是什么图形，有没有哪几个点其实走不到。

为什么是这样

轨迹是满足条件的点的全体所成的图形。说「轨迹是图形 $F$ 」包含两句话：满足条件的点都在 $F$ 上； $F$ 上的点都满足条件。所以从条件推方程时，每一步最好都是能倒回去的等价变形。用了倒不回去的步骤，比如参数只能取一部分值、除以可能为 $0$ 的式子、某个位置图形不成立，就要回头把 $F$ 里走不到的点去掉，这就是答案里常见的「但除去点……」。

几种基本轨迹可以直接认：到两定点距离相等，是垂直平分线；到两条相交直线距离相等，是两条角平分线；到定点距离一定，是圆；到定直线距离一定，是两条平行线；看线段 $AB$ 的张角是直角，是以 $AB$ 为直径的圆，除去 $A$ 、 $B$ 。

到两定点距离之比为 $m:n$ 的点，在 $m\ne n$ 时也画出一个圆。 $AB$ 上的 $m:n$ 内分点和延长线上的 $m:n$ 外分点本身就满足比例，它们都在轨迹上，而且正是这个圆直径的两端，所以圆心和半径不用算就能先看出来。 $m=n$ 时外分点不存在，圆退化成垂直平分线。

定量表达

求轨迹的步骤：① 设 $P(x,y)$ ；② 把条件写成 $x$ 、 $y$ 的等式；③ 整理成认得的形式，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ；④ 检查有没有要除去的点、要截取的部分。距离条件先平方再展开，两边都非负，平方是等价的。

$PA^2+PB^2=k$ 一类的条件展开后得 $x^2+y^2+\cdots=c$ 的形式，配方后右边的正负决定结果：正是圆，零是一个点，负则没有这样的点。所以 $k$ 含参数时要分情况。

$P$ 跟着另一个动点 $Q$ 运动时，用连接用的字母 $s$ 、 $t$ 设 $Q(s,t)$ ，由 $P$ 、 $Q$ 的关系把 $s$ 、 $t$ 用 $x$ 、 $y$ 表示，代入 $Q$ 满足的方程。中点、内分点、重心、关于直线的对称点都这样做。坐标由一个参数 $t$ 给出时（如顶点 $(t,\,-t^2+4t)$ ），消去 $t$ ， $t$ 的范围变成 $x$ 的范围，轨迹往往只是曲线的一部分。

PA:PB=m:n\ \Longleftrightarrow\ n^2PA^2=m^2PB^2

$A,\ B$: 两个定点
$P$: 动点，坐标设为 $(x,\,y)$
$PA,\ PB$: $P$ 到 $A$ 、 $B$ 的距离
$m,\ n$: 给定的正数

适用条件

因为 $PA$ 、 $PB$ 都不是负数，两边平方是等价变形，不会多出或丢掉点
$m\ne n$ 时轨迹是圆，直径的两端是线段 $AB$ 的 $m:n$ 内分点和外分点（阿波罗尼斯圆）； $m=n$ 时是 $AB$ 的垂直平分线

怎么用

先判断题型。条件直接说 $P$ 的距离、比、角，直接设 $P(x,y)$ ； $P$ 是某个动点的中点、重心、对称点，用连动型； $P$ 是随参数变化的顶点、两条动直线的交点、弦的中点，消去参数。两条动直线的交点，用其中一式解出参数时如果要除以 $x$ ，要另看 $x=0$ 的情形，往往有一个点在图形上却永远取不到。直线关于直线的对称直线、两直线的角平分线，也可以看成「对称点」「等距点」的轨迹来求。

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