对称点与点到直线的距离

为什么是这样

$P$ 关于直线 $\ell$ 的对称点 $Q$ 满足两件事：$PQ$ 与 $\ell$ 垂直，$PQ$ 的中点在 $\ell$ 上。只有垂直，$Q$ 可以在那条垂线上任何地方；只有中点在 $\ell$ 上，$Q$ 可以朝任何方向。两个条件正好列出两个方程，解出 $Q$ 的两个坐标。

距离公式的来历可以这样看。上一节说过，直线 $ax+by+c=0$ 的方向是「$x$ 走 $b$、$y$ 走 $-a$」，所以「$x$ 走 $a$、$y$ 走 $b$」与它垂直。从垂足 $H$ 出发沿这个方向走 $t$ 倍到达 $P$，$ax+by+c$ 的值从 0 变成 $t(a^2+b^2)$，而走过的长度是 $|t|\sqrt{a^2+b^2}$，相除就得到距离公式。

同一个道理还说明：$ax+by+c$ 的值在直线两侧符号相反，离直线越远绝对值越大。判断两点在直线的同侧还是异侧，代入看符号即可。

两点 $A$、$B$ 在 $\ell$ 同侧，$P$ 在 $\ell$ 上动，求 $AP+PB$ 的最小值：取 $A$ 关于 $\ell$ 的对称点 $A'$，则 $AP=A'P$，$AP+PB=A'P+PB\ge A'B$，$P$ 落在线段 $A'B$ 上时取等号。

定量表达

点 $(x_1,\,y_1)$ 到直线 $ax+by+c=0$ 的距离见下面的公式块。两条平行线 $ax+by+c_1=0$、$ax+by+c_2=0$ 间的距离，是一条上任取一点到另一条的距离，等于 $\dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，前提是两式的 $a$、$b$ 已化成相同。

求对称点：设 $Q(p,\,q)$，「垂直」写成斜率之积为 $-1$，「中点在 $\ell$ 上」把 $\left(\dfrac{x_1+p}{2},\,\dfrac{y_1+q}{2}\right)$ 代入 $\ell$。直线 $m$ 关于 $\ell$ 的对称直线：取 $m$ 上两点分别翻折再连线；$m$ 与 $\ell$ 相交时交点不动，只需再翻折一个点。

三角形面积以一边为底，另一顶点到这条边所在直线的距离为高。一个顶点是原点时更快：$O$、$A(x_1,\,y_1)$、$B(x_2,\,y_2)$ 围成的面积是 $\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$；顶点不在原点时，先把整个三角形平移，让一个顶点到原点。